함수방정식 정적분

$f ( xy + 1 ) = xg ( y ) + h ( x + y )$ ⋯⋯ ㉠ ㉠의 양변에 $x = 0$ 을 대입하면 $f ( 1 ) = h ( y )$ $f ( 1 ) = 1$이고 위 식은 모든 실수 $y$에 대하여 성립해야하므로 $h ( x )$는 상수함수이다. ∴ $h ( x ) = 1$ 따라서 ㉠의 식은 $f ( xy + 1 ) = x g ( y ) + 1$ ⋯⋯ ㉡ ㉡의 양변에 $y = 1$을 대입하면 $f ( x + 1 ) = x g ( 1 ) + 1$ $g ( 1 ) = 2$이므로 $f ( x + 1 )$$= 2 x + 1$ ∴ $f ( x ) = 2 x - 1$ ⋯⋯ ㉢ 따라서 $f ( xy + 1 ) =$$2 ( xy + 1 ) - 1$$= 2 xy + 1$이므로 ㉡에서 $2 xy + 1 = x g ( y ) + 1$ 따라서 $g ( y ) = 2 y$ 즉, $g ( x ) = 2 x$이다. ∴ $f ( x ) + g ( x ) + h ( x ) = 4 x$ ∴ $\displaystyle \int _{0} ^{3} \left\{ f ( x ) + g ( x ) + h ( x ) \right\} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} 4 xdx$$= \left[ 2 x ^{2} \right] _{0} ^{3}$$= 18$