공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 성분합 증명

문제

다음은 자연수 $a$ 가 홀수일 때, 행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ a ^{2} & a ^{3} \end{pmatrix}$ 에 대하여 $A ^{2}$ 의 모든 성분의 합은 $4$ 의 배수임을 증명한 것이다. [증명] $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} 1 & a \\ a ^{2} & a ^{3} \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & a \\ a ^{2} & a ^{3} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 + a ^{3} & a + a ^{4} \\ a ^{2} + a ^{5} & {\square {( \text{가} )}} \end{pmatrix}}$ 이므로 $A ^{2}$ 의 모든 성분의 합은 $( 1 + a ^{3} ) + ( a + a ^{4} ) + ( a ^{2} + a ^{5} ) +$ (가) $= ( 1 + a ^{3} )$ (나)

$1 + a ^{3}$ 은 (다) 이고 (나) 은(도) (라) 이다. 따라서 $A ^{2}$ 의 모든 성분의 합은 $4$ 의 배수가 된다.

위의 증명에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)	(라)
①	$a ^{3} + a ^{6}$	$1 + a + a ^{2} + a ^{3}$	홀수	짝수
②	$a ^{3} + a ^{6}$	$1 + a ^{2} + a ^{3}$	홀수	홀수
③	$a ^{3} + a ^{6}$	$1 + a + a ^{2} + a ^{3}$	짝수	짝수
④	$a ^{3} + a ^{9}$	$1 + a ^{2} + a ^{3}$	홀수	홀수
⑤	$a ^{3} + a ^{9}$	$1 + a + a ^{2} + a ^{3}$	짝수	짝수

정답 보기

③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 자연수의 성질을 이용하여 증명하기 $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} 1 & a \\ a ^{2} & a ^{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ a ^{2} & a ^{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + a ^{3} & a + a ^{4} \\ a ^{2} + a ^{5} & a ^{3} + a ^{6} \end{pmatrix}$ 이므로 $A ^{2}$ 의 모든 성분의 합은 $( 1 + a ^{3} ) + ( a + a ^{4} ) + ( a ^{2} + a ^{5} ) + ( a ^{3} + a ^{6} )$ $= ( 1 + a ^{3} ) ( 1 + a + a ^{2} + a ^{3} )$ 자연수 $a$ 가 홀수이므로 $1 + a ^{3}$ 과 $1 + a + a ^{2} + a ^{3}$ 은 모두 짝수이다. 따라서 $A ^{2}$ 의 모든 성분의 합은 $4$ 의 배수가 된다.

← 전체 문제 목록으로

행렬 성분합 증명

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기