행렬 조건과 원의 자취

$A ^{2} = 16 E$이므로 $\displaystyle \begin{aligned} A ^{2} = & \begin{pmatrix} x & y \\ y & - x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ y & - x \end{pmatrix} \end{aligned}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} x ^{2} + y ^{2} & 0 \\ 0 & x ^{2} + y ^{2} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix}$ $\therefore x ^{2} + y ^{2} = 4 ^{2}$ $x ^{2} + y ^{2} = 4 ^{2}$ ${\mathrm{Q}} ( 5 , 12 )$

따라서, 점 $\mathrm{P}$의 자취는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $4$인 원이다. 원의 중심 $\mathrm{O}$에서 점 $\mathrm{Q} \mathit{(} 5 , 12 )$에 이르는 거리는 $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = \sqrt{5 ^{2} + 12 ^{2}} = 13$이므로 선분$\mathrm{PQ}$의 최대값은 $13 + 4 = 17$이다.