공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 직선과 원 접함

문제

두 집합 A,BA , B가 A={(x,y)∣(1k−4k−4)(xy)=(00),k는실수},\displaystyle A = \left\{ \begin{array}{ll} \left( x , y \right) | \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} 1 & k - 4 \\ k & - 4 \end{matrix}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right) , k \text{는} \text{실수} \end{array} \right\} , B={(x,y)∣x2+(y−3)2=r2,r은양의실수}B = \left\{ \left( x , y \right) | x ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} = r ^{2} , r \text{은} \text{양의} \text{실수} \right\} 이고, 집합 AA는 (0,0)\left( 0 , 0 \right)이외의 원소를 갖는다고 하자. A∩BA \cap B의 원소의 개수가 한 개일 때, 5r25 r ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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36

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해설

[출제의도] 행렬과 연립일차방정식의 관계 이해하기 집합 A가 (0,0)이외의 원소를 가지므로 행렬(1k−4k−4)\displaystyle \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} 1 & k - 4 \\ k & - 4 \end{matrix}} \end{array} \right)가 역행렬을 갖지 않는다. ∴−4−k(k−4)=0,k=2A={(x,y)∣x−2y=0}\begin{aligned} \therefore - 4 - k \left( k - 4 \right) = 0 , k = 2 \\ A = \left\{ \left( x , y \right) | x - 2 y = 0 \right\} \end{aligned} A∩BA \cap B의 원소의 개수가 한 개이기 위해서는 집합 AA가 나타내는 직선과 집합 BB가 나타내는 원이 접해야 하므로 원의 중심에서 직선까지의 거리는 반지름과 같다. r=∣0−2×3∣12+22=655∴5r2=36\displaystyle r = \frac{| 0 - 2 \times 3 |}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}} = \frac{6 \sqrt{5}}{5} \therefore 5 r ^{2} = 36

태그

#역행렬#원과 직선#점과 직선 사이의 거리

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