행렬 점화식과 최대 자연수 n

$\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B ^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B ^{3} = B ^{2} \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 12 & 1 \end{pmatrix}$, $\vdots$ $\displaystyle B ^{n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 n & 1 \end{pmatrix} \cdots$(1) 주어진 점화식에 $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$를 차례로 대입하면 $n = 1$일 때 : $A _{1} = B \cdot E = B$ $n = 2$일 때 : $A _{2} = B ^{2} \cdot B = B ^{3}$ $n = 3$일 때 : $A _{3} = B ^{3} \cdot B ^{3} = B ^{6}$ $\vdots$ $n = n$일 때 : $\displaystyle A _{n} = B ^{\frac{1}{2} n ( n + 1 )}$ 따라서, 식 (1)에 의해 $\displaystyle \therefore \begin{pmatrix} a _{n} & b _{n} \\ c _{n} & d _{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 n ( n + 1 ) & 1 \end{pmatrix}$ 그러므로 $a _{n} + b _{n} + c _{n} + d _{n} = 2 ( n ^{2} + n + 1 ) \leq 2004$ 을 만족하는 최대 자연수 $n$은 $31$이다.