행렬 점화식 빈칸

영행렬이 아닌 이차정사각행렬 $A$가 $A ^{2} = 3 A$를 만족시킨다. 다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 행렬 $( A - E ) ^{n}$을 $( A - E ) ^{n} = a _{n} A + ( - 1 ) ^{n} E$ 와 같이 나타낼 때, 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항을 구하는 과정이다. (단, $E$는 단위행렬이다.)

자연수 $n$에 대하여 $\begin{aligned} ( A - E ) ^{n+1} & = \left\{ a _{n} A + ( - 1 ) ^{n} E \right\} ( A - E ) \\ & = a _{n} A ^{2} - a _{n} A + ( - 1 ) ^{n} A + ( - 1 ) ^{n+1} E \end{aligned}$ 이고, $A ^{2} = 3 A$이므로 $( A - E ) ^{n+1} = \left( 2 a _{n} + \square {( \text{가} )} \right) A + ( - 1 ) ^{n+1} E$ 이다. 그러므로 $a _{n+1} = 2 a _{n} + \square {( \text{가} )}$ $\cdots \cdots$ $\text{㉠}$ 이다. 따라서 $2$이상인 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} + a _{n+1} = 2 \left( a _{n-1} + a _{n} \right)$이다. 또한 $a _{1} + a _{2} = 1 + 1 = 2$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} + a _{n+1} = \square {( \text{나} )}$ $\cdots \cdots$ $\text{㉡}$ 이다. $\text{㉠}$과 $\text{㉡}$에 의해 $3 a _{n} + ( - 1 ) ^{n} = \square {( \text{나} )}$ 이다. 따라서 $\displaystyle a _{n} = \frac{\square {( \text{나} )} + ( - 1 ) ^{n+1}}{3}$이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( n )$, $g ( n )$이라할 때, $f ( 9 ) \times g ( 5 )$의 값은? [4점] ①$- 32$②$- 16$③$8$④$16$⑤$32$