공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 점화 케일리

문제

등식 $A ^{2} = A + 3 E$ 를 만족시키고 $A \neq k E$ 인 이차정사각행렬 $A$ 에 대하여 $A ^{n} = a _{n} A + b _{n} E$ ( $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$ ) 가 성립하도록 하는 두 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ , $\left\{ b _{n} \right\}$ 이 있다. 이때, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a _{n + 1} \\ b _{n + 1} \end{pmatrix}} = B {\begin{pmatrix} a _{n} \\ b _{n} \end{pmatrix}}$ 을 만족시키는 행렬 $B$ 에 대하여 $B ^{2} = xB + yE$ 가 성립한다. 두 상수 $x$ , $y$ 의 합 $x + y$ 의 값은? (단, $E$ 는 단위행렬이고 $k$ 는 상수이다.) [4점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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④

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해설

$A ^{n} = a _{n} A + b _{n} E$ 의 양변에 $A$ 를 곱하면 $\begin{aligned} A ^{n + 1} = a _{n} A ^{2} + b _{n} A \\ = a _{n} ( A + 3 E ) + b _{n} A \\ = ( a _{n} + b _{n} ) A + 3 a _{n} E \\ = a _{n+1} A + b _{n+1} E \end{aligned}$ $\displaystyle \therefore {\begin{pmatrix} a _{n + 1} \\ b _{n + 1} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a _{n} \\ b _{n} \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = B {\begin{pmatrix} a _{n} \\ b _{n} \end{pmatrix}}$ $\displaystyle \therefore B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow B ^{2} - ( 1 + 0 ) B + ( 1 \cdot 0 - 1 \cdot 3 ) E = O$ 이므로 $\therefore B ^{2} = B + 3 E = xB + yE$ $\rightarrow x + y = 4$

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