행렬 거듭제곱과 무한급수

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {0} & {- 1} \end{pmatrix}$ $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {0} & {- 1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {0} & {- 1} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{pmatrix}$$= E$ ∴ $A ^{2n-1} = A$, $A ^{2n} = E$ (단, $n$은 자연수) 행렬 $A + E$의 모든 성분의 합은 $4$이고 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{2n} A ^{k} - \sum\limits _{k=1} ^{2n-2} A ^{k}$$= A ^{2n} + A ^{2n-1}$$= A + E$ 이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $4$이고 공차가 $4$인 등차수열을 이룬다. ∴ $a _{n} = 4 n$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{4}{a _{n} a _{n+1}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{4 n ( n + 1 )}$$\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{1}{4 k ( k + 1 )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{4}$