행렬 거듭제곱 집합

[출제의도] 조건에 맞는 행렬을 이해하고 그 결과를 파악한다. 행렬 $A$의 거듭제곱을 차례로 구해 보면 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}} = - E$ $A ^{3} = A ^{2} A = - EA = - A =$$\displaystyle {\begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$ $A ^{4} = \left( A ^{2} \right) ^{2} = \left( - E \right) ^{2} = E$ $A ^{5} = A ^{4} A = E A = A$ $A ^{6} = A ^{4} A ^{2} = E ( - E ) = - E$ $\cdots$ 위와 같이 반복되어 나타난다. 따라서 음이 아닌 자연수 $k$에 대하여 다음과 같이 성립한다. ⅰ) $n = 4 k$이면 $A ^{n} = \left( A ^{4} \right) ^{k} = E ^{k} = E$ ⅱ) $n = 4 k + 1$이면 $A ^{n} = \left( A ^{4} \right) ^{k} A = E ^{n} A = EA = A$ ⅲ) $n = 4 k + 2$이면 $A ^{n} = \left( A ^{4} \right) ^{k} A ^{2} = E ^{n} A ^{2} = E ( - E ) = - E$ ⅳ) $n = 4 k + 3$이면 $A ^{n} = \left( A ^{4} \right) ^{k} A ^{3} = E ^{n} A ^{3} = E ( - A ) = - A$ 따라서 임의의 자연수 $n$에 대하여 $A ^{n}$은 네 행렬 $A$, $- A$, $E$, $- E$ 중에서 어느 하나와 일치한다. $\therefore$$S = \left\{ A , - E , - A , E \right\}$이므로 집합 $S$의 원소의 개수는 $4$이다. [참고] 케일리-해밀턴 정리에 의하면 행렬 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$에 대하여 등식 $A ^{2} - ( a + d ) A + ( ad - b c ) E = O$ 이 항상 성립한다. 따라서 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}}$에 대하여 다음과 같이 성립한다. $A ^{2} - ( 0 + 0 ) A + \left\{ 0 \times 0 - 1 \times ( - 1 ) \right\} E = O$ $A ^{2} + E = O$ $\therefore$$A ^{2} = - E$