공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱 빈칸

문제

이차정사각행렬 $A$ 가 등식 $A ^{2} - 3 A + 2 E = O$ 를 만족시킨다. 다음은 $n$ 이 $2$ 이상의 자연수일 때, 행렬 $A ^{n}$ 을 구하는 과정이다. (단, $E$ 는 단위행렬이고, $O$ 는 영행렬이다.)

$A ^{2} - 3 A + 2 E = O$ 에서 $A ^{2} - A = 2 ( A - E )$ $A ^{3} - A ^{2} = A ( A ^{2} - A )$ $= 2 A ( A - E )$ $= 2 ( A ^{2} - A )$ $= 4 ( A - E )$ $A ^{4} - A ^{3} = A ( A ^{3} - A ^{2} )$ $= 4 A ( A - E )$ $= 4 ( A ^{2} - A )$ $= 8 ( A - E )$ $\vdots$ $A ^{n} - A ^{n - 1} = \square {( \text{가} )} ( A - E )$ 위 등식들을 변끼리 더하면 $A ^{n} - A = {\square {( \text{나} )}} ( A - E )$ ∴ $A ^{n} = {\square {( \text{나} )}} ( A - E ) + A$

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( n )$ , $g ( n )$ 이라 할 때, $f ( 9 ) + g ( 9 )$ 의 값은? [4점] ① $754$ ② $758$ ③ $762$ ④ $766$ ⑤ $770$

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④

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해설

[출제의도] 행렬의 연산과 등비수열의 합을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 추론한다. $A ^{2} - 3 A + 2 E = O$ 에서 $A ^{2} - A = 2 ( A - E )$ $A ^{3} - A ^{2} = A ( A ^{2} - A )$ $= 2 A ( A - E )$ $= 2 ( A ^{2} - A )$ $= 4 ( A - E )$ $= 2 ^{2} ( A - E )$ $A ^{4} - A ^{3} = A ( A ^{3} - A ^{2} )$ $= 4 A ( A - E )$ $= 4 ( A ^{2} - A )$ $= 8 ( A - E )$ $= 2 ^{3} ( A - E )$ $\vdots$ $A ^{n} - A ^{n - 1} = \square {2 ^{n-1}} ( A - E )$ 위 등식들을 변끼리 더하면 좌변은 $( A ^{2} - A ) + ( A ^{3} - A ^{2} ) + ( A ^{4} - A ^{3} ) + \cdots + ( A ^{n} - A ^{n - 1} )$ $= A ^{n} - A$ 이고, 우변은 $( 2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{n - 1} ) ( A - E )$ $\displaystyle = \frac{2 ( 2 ^{n - 1} - 1 )}{2 - 1} ( A - E )$ $= ( 2 ^{n} - 2 ) ( A - E )$ 이다. 그러므로 $A ^{n} - A = \square {( 2 ^{n} - 2 )} ( A - E )$ ∴ $A ^{n} = \square {( 2 ^{n} - 2 )} ( A - E ) + A$ $f ( n ) = 2 ^{n - 1}$ , $g ( n ) = 2 ^{n} - 2$ ∴ $f ( 9 ) + g ( 9 ) = 2 ^{8} + 2 ^{9} - 2$ $= 766$

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