행렬 거듭제곱 빈칸

다음은 이차방정식 $5 x ^{2} + 5 x + 1 = 0$의 두 근을 $\alpha , \beta$라 할 때, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta - \alpha \\ \alpha & \alpha ^{2} + \alpha \beta \end{pmatrix}$에 대하여 $A ^{n}$ ($n$은 자연수)을 구하는 과정이다. $5 x ^{2} + 5 x + 1 = 0$의 두 근 $\alpha , \beta$에 대하여 $\alpha + \beta = - 1$, $\displaystyle \alpha \beta = \frac{1}{5}$이므로 행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta - \alpha \\ \alpha & \square {( \text{가} )} \end{pmatrix}$이다. $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta - \alpha \\ \alpha & \square {( \text{가} )} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & \beta - \alpha \\ \alpha & \square {( \text{가} )} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \beta & 0 \\ 0 & \square {( \text{나} )} \end{pmatrix}$ 이므로 자연수 $n$에 대하여 $n$이 홀수일 때, $A ^{n} = \square {( \text{다} )}$이고 $n$이 짝수일 때, $\displaystyle A ^{n} = \left( \frac{1}{5} \right) ^{\frac{n}{2}}$(단, $E$는 단위행렬이다.)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$\alpha$ $\alpha ^{2} - \beta$ $\displaystyle \left( \frac{1}{5} \right) ^{\frac{n - 1}{2}} A$②$\alpha$ $\alpha ^{2} - \beta$ $\displaystyle \left( \frac{1}{5} \right) ^{\frac{n}{2}} A$③$- \alpha$ $\alpha ^{2} - \beta$ $\displaystyle \left( \frac{1}{5} \right) ^{\frac{n - 1}{2}} A$④$- \alpha$ $\alpha \beta$ $\displaystyle \left( \frac{1}{5} \right) ^{\frac{n}{2}} A$⑤$- \alpha$ $\alpha \beta$ $\displaystyle \left( \frac{1}{5} \right) ^{\frac{n - 1}{2}} A$