해가 하나인 지수방정식

[출제의도] 지수방정식의 해의 존재성 이해하기 $16 \times 3 ^{- x} + 3 ^{x + 2} = 2 a$에서 $3 ^{x} = t ( t > 0 )$라 하면, $16 t ^{- 1} + 9 t = 2 a , 9 t ^{2} - 2 at + 16 = 0$ $t > 0$이고 두 근의 곱이 양수이므로 이 방정식이 단 하나의 해를 가진다면 양수인 중근을 가져야 하므로 (두 근의 합) $\displaystyle = \frac{2 a}{9} > 0 \therefore a > 0$ $\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} - 9 \times 16 = 0 , a ^{2} = 144$ $\therefore a = 12$