공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

교점과 무게중심

문제

좌표평면에서 이차함수 $y = x ^{2} - 8 x + 1$ 의 그래프와 직선 $y = 2 x + 6$ 이 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A} , B$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 무게중심의 좌표를 $( a , b )$ 라 할 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) [4점]

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해설

곡선 $y = x ^{2} - 8 x + 1$ 과 직선 $y = 2 x + 6$ 의 두 교점 $\mathrm{A} , B$ 의 좌표를 각각 $( \alpha , 2 \alpha + 6 )$ , $( \beta , 2 \beta + 6 )$ 이라 하면 $\alpha , \beta$ 는 $x ^{2} - 10 x - 5 = 0$ 의 서로 다른 두 실근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 10$ 점 $( a , b )$ 가 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 무게중심이므로 $\displaystyle a = \frac{\alpha + \beta + 0}{3}$ , $\displaystyle b = \frac{( 2 \alpha + 6 ) + ( 2 \beta + 6 ) + 0}{3}$ 따라서 $a + b = \alpha + \beta + 4 = 14$

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