교점으로 나뉜 사각형의 넓이

실마리: 삼각형 $\mathrm{PBD}$의 넓이를 $x$, 삼각형 $\mathrm{PAE}$의 넓이를 $y$로 두면 나머지 조각이 모두 $x$, $y$로 나타난다.

두 삼각형 $\mathrm{PBD}$와 $\mathrm{PDC}$는 점 $\mathrm{P}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 높이가 같으므로 넓이의 비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}} = 1 : 2$ 삼각형 $\mathrm{PBD}$의 넓이를 $x$라 하면 삼각형 $\mathrm{PDC}$의 넓이는 $2 x$ 점 $\mathrm{E}$가 변 $\mathrm{CA}$의 중점이므로 삼각형 $\mathrm{PAE}$의 넓이를 $y$라 하면 삼각형 $\mathrm{PEC}$의 넓이도 $y$

점 $\mathrm{E}$가 중점이므로 삼각형 $\mathrm{BCE}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 60 = 30$ $3 x + y = 30$ …… ㉠ $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}} = 1 : 2$이므로 삼각형 $\mathrm{ADC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{2}{3} \times 60 = 40$ $2 x + 2 y = 40$, 즉 $x + y = 20$ …… ㉡ ㉠$-$㉡에서 $2 x = 10$, $x = 5$, $y = 15$ 따라서 사각형 $\mathrm{PDCE}$의 넓이는 $2 x + y = 10 + 15 = 25$

(검산: $\mathrm{B} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{C} ( 3 , 0 )$, $\mathrm{A} ( 0 , 3 )$으로 놓으면 $\mathrm{D} ( 1 , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{E} \left( \frac{3}{2} , \frac{3}{2} \right)$이고 교점은 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{4} , \frac{3}{4} \right)$이다. 삼각형 $\mathrm{PBD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$로 전체 $\displaystyle \frac{9}{2}$의 $\displaystyle \frac{1}{12}$, 즉 $60$의 $\displaystyle \frac{1}{12}$인 $5$와 같다.)