교점 x좌표 합

[출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계 추론하기

$\displaystyle y = \frac{1}{2} x + 1$ $y = f ( x )$ $y = g ( x )$

함수 $y = g ( x )$의 그래프는 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼 평행이동한 것이므로 $g ( x ) = ( x - p ) ^{2}$이 된다. 이차함수 $y = x ^{2}$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + 1$의 교점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $x _{1} , x _{2}$라 하면 $x _{1} , x _{2}$는 방정식 $\displaystyle x ^{2} = \frac{1}{2} x + 1$의 근이 된다. 따라서 이차방정식 $2 x ^{2} - x - 2 = 0$의 두 근의 합 $\displaystyle x _{1} + x _{2} = \frac{1}{2}$이다. 같은 방법으로 이차함수 $y = ( x - p ) ^{2}$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + 1$의 교점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 $x$좌표를 $x _{3} , x _{4}$라 하면 $x _{3} , x _{4}$는 방정식 $\displaystyle ( x - p ) ^{2} = \frac{1}{2} x + 1$의 근이 된다. 그러므로 이차방정식 $2 x ^{2} - ( 4 p + 1 ) x + 2 p ^{2} - 2 = 0$의 두 근의 합 $\displaystyle x _{3} + x _{4} = 2 p + \frac{1}{2}$이다. 따라서 $x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} = 1 + 2 p$이므로 $1 + 2 p = 9$이고, $p = 4$이다.