교점 사다리꼴 넓이

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 교점 이해하기

$y = f \left( x \right)$ $y = g \left( x \right)$

두 함수 $y = f ( x )$와 $y = g ( x )$의 그래프의 교점의 $x$좌표를 구하면 $x ^{2} + n ^{2} = 2 nx + 1$, $x ^{2} - 2 nx + n ^{2} - 1 = 0$이고 $x = n - 1$ 또는 $x = n + 1$이다. 따라서 점 ${\mathrm{A}} \left( n - 1 , 2 n ^{2} - 2 n + 1 \right)$, ${\mathrm{B}} \left( n + 1 , 2 n ^{2} + 2 n + 1 \right)$라 하면 $\mathrm{C} \mathit{\left( n - 1 , 0 \right)}$, $\mathrm{D} \mathit{\left( n + 1 , 0 \right)}$이다. 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left( {\overline{\mathrm{AC}}} + {\overline{\mathrm{BD}}} \right) \times {\overline{\mathrm{CD}}} = \frac{1}{2} \left( 4 n ^{2} + 2 \right) \times 2 = 4 n ^{2} + 2$이다. 따라서 문제의 조건을 만족시키는 자연수 $n$은 $4 n ^{2} + 2 = 66$, $n ^{2} = 16$이므로 $n = 4$이다.