교점 조건으로 정한 수열

[출제의도] 수열 추론하기 함수 $f \left( x \right) = x ^{2} + n$의 그래프와 직선 $y = mx$가 만나기 위해서는 이차방정식 $x ^{2} - mx + n = 0$의 판별식 $D = m ^{2} - 4 n \geq 0$에서 $m ^{2} \geq 4 n$ $n = 1$이면 $m ^{2} \geq 4$이므로 $a _{1} = 2$ $n = 2$이면 $m ^{2} \geq 8$이므로 $a _{2} = 3$ $n = 3$이면 $m ^{2} \geq 12$이므로 $a _{3} = 4$ $n = 4$이면 $m ^{2} \geq 16$이므로 $a _{4} = 4$ 이를 바탕으로 추론하면 $4 \times 5 < 5 ^{2} < 4 \times 7$이므로 $a _{n} = 5$를 만족시키는 $n$은 $5 , 6$ $4 \times 7 < 6 ^{2} \leq 4 \times 9$이므로 $a _{n} = 6$을 만족시키는 $n$은 $7 , 8 , 9$ $\vdots$ $4 \times 26 < 11 ^{2} < 4 \times 31$이므로 $a _{n} = 11$을 만족시키는 $n$은 $26 , 27 , 28 , 29 , 30$ $4 \times 31 < 12 ^{2} \leq 4 \times 36$이므로 $a _{n} = 12$를 만족시키는 $n$은 $31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36$ $a _{n} < a _{n + 1}$을 만족시키는 $33$ 이하의 모든 $n$의 값은 $1 , 2 , 4 , 6 , 9 , 12 , 16 , 20 , 25 , 30$ 따라서 모든 $n$의 값의 합은 $125$