교점 조건 삼차함수

$f \left( - 2 \right) = g \left( - 2 \right) = 2$, $f \left( 0 \right) = g \left( 0 \right) = 2$이므로 삼차방정식 $g \left( x \right) = 2$의 서로 다른 세 실근을 $- 2$, $0$, $t$라 하면 $g \left( x \right)$$- 2 = x \left( x + 2 \right) \left( x - t \right)$ $g \left( x \right)$$= x \left( x + 2 \right) \left( x - t \right) + 2$ $= x ^{3} + \left( 2 - t \right) x ^{2} - 2 tx + 2$ $f \left( k \right) = g \left( k \right)$를 만족시키는 양수 $k$의 값은 $\mathrm{2}$뿐이므로, 이를 만족시키는 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$x > 0$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 곡선 $y = g \left( x \right)$ 위의 점 $\left( 2 , g \left( 2 \right) \right)$에서의 접선과 일치한다. $f \left( 2 \right) = g \left( 2 \right)$이고 $f' \left( 2 \right) = g' \left( 2 \right)$ $f \left( 2 \right) = a \left( 2 - 5 \right) = - 3 a$ $g \left( 2 \right) = 8 + 4 \left( 2 - t \right) - 4 t + 2 = 18 - 8 t$ $- 3 a = 18 - 8 t$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f' \left( 2 \right) = g' \left( 2 \right)$이므로 $f' \left( x \right) = a \left( x > 0 \right)$에서 $f' \left( 2 \right) = a$ $g' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 \left( 2 - t \right) x - 2 t$에서 $g' \left( 2 \right) = 20 - 6 t$ $a = 20 - 6 t$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 $a = 2$, $t = 3$ $g \left( x \right) = x ^{3} - x ^{2} - 6 x + 2$ 따라서 $g \left( 2 a \right) = g \left( 4 \right) = 26$