교점 개수로 삼차함수 결정

[출제의도] 극댓값과 극솟값의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 주어진 조건에 의하여 함수 $f ( x )$의 극댓값은 $0$, 극솟값은 $- 4$ 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표를 $a , b$라 하면 $f ( x ) = ( x - a ) ^{2} ( x - b )$ $\begin{aligned} f' ( x ) & = 2 ( x - a ) ( x - b ) + ( x - a ) ^{2} \end{aligned}$$= ( x - a ) ( 3 x - a - 2 b )$

$y = - 4$ $y = f ( x )$ $\displaystyle \frac{a + 2 b}{3}$

$\displaystyle f \left( \frac{a + 2 b}{3} \right) = \frac{4}{27} \left( a - b \right) ^{3} = - 4$이므로 $b = a + 3$ $f ( 0 ) = - a ^{2} b = - a ^{2} ( a + 3 ) = - 20$, $a = 2$, $b = 5$ $f ( x ) = \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - 5 \right)$ 따라서 $f ( 9 ) = 196$ (별해) 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f ( x )$가 $x = a$에서 극댓값 $0$을 갖는다고 하고 함수 $f ( x )$를 $x$축의 음의 방향으로 $a$만큼 평행이동하여 얻은 함수를 $h ( x ) = f ( x + a )$라 하고 함수 $y = h ( x )$의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표를 $\alpha$$( \alpha \ne 0 )$라 하자. $h ( x ) = x ^{2} ( x - \alpha )$ $h' ( x ) = 2 x ( x - \alpha ) + x ^{2} = x ( 3 x - 2 \alpha ) = 0$ 함수 $y = h ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{2 \alpha}{3}$에서 극솟값 $- 4$를 가지므로 $\displaystyle \left( \frac{2 \alpha}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2 \alpha}{3} - \alpha \right) = - \frac{4 \alpha ^{3}}{27} = - 4$ $\alpha = 3$이고 $f ( x + a ) = x ^{2} \left( x - 3 \right)$ $f ( x ) = ( x - a ) ^{2} \left( x - a - 3 \right)$ $f ( 0 ) = - 20$이므로 $a ^{2} ( a + 3 ) = 20 = 2 ^{2} \times 5$ $a = 2$이므로 $f ( x ) = \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - 5 \right)$ 따라서 $f ( 9 ) = 196$