교점 개수 함수와 삼차함수

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 (가)에서 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 0$, $x = 6$에서 불연속이므로 함수 $f \left( x \right)$의 극솟값은 $0$, 극댓값은 $6$이고 함수 $g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$y = g \left( x \right)$

(나)에서 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$는 $\displaystyle f \left( x \right) g \left( x \right) = {\begin{cases} f \left( x \right) _{{} _{}} \left( x < 0 , x > 6 \right) \\ 2 f \left( x \right) _{{} _{}} \left( x = 0 , x = 6 \right) \\ 3 f \left( x \right) \left( 0 < x < 6 \right) \end{cases}}$ 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$는 모든 실수에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f \left( x \right) g \left( x \right) = f \left( 0 \right) g \left( 0 \right)}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 6} {f \left( x \right) g \left( x \right) = f \left( 6 \right) g \left( 6 \right)}$ 그러므로 $f \left( 0 \right) = 0$, $f \left( 6 \right) = 0$이다. 따라서 함수 $f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 <그림1> 또는 <그림2> 중 하나이다.

$y = ax \left( x - 6 \right) ^{2}$

<그림1>

$y = ax ^{2} \left( x - 6 \right)$

<그림2> 이때 (다)에서 $f \left( 5 \right) f \left( 7 \right) < 0$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 <그림2>와 같다. $\therefore$ $f \left( x \right) = ax ^{2} \left( x - 6 \right)$ $f' \left( x \right) = 3 ax \left( x - 4 \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 4$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 4$에서 극댓값을 갖는다. $f \left( 4 \right) = - 32 a = 6$, $\displaystyle a = - \frac{3}{16}$ $\therefore$ $\displaystyle f \left( x \right) = - \frac{3}{16} x ^{2} \left( x - 6 \right)$ 따라서 $\displaystyle f \left( - 4 \right) = - \frac{3}{16} \times \left( - 4 \right) ^{2} \times \left( - 4 - 6 \right) = 30$