교점 개수 함수의 연속

$y = mx + 2$와 $y = x ^{3} - 3 x ^{2} + 1$의 교점의 개수는 $x ^{3} - 3 x ^{2} - mx - 1 = 0$, $\displaystyle x ^{2} - 3 x - \frac{1}{x} = m$의 실근의 개수와 같다. ($\because x \ne 0$) $\displaystyle g ( x ) = x ^{2} - 3 x - \frac{1}{x}$로 놓고 미분하면 $\displaystyle g' ( x ) = 2 x - 3 + \frac{1}{x ^{2}}$$\displaystyle = \frac{2 x ^{3} - 3 x + 1}{x ^{2}}$$\displaystyle = \frac{( x - 1 ) ^{2} ( 2 x + 1 )}{x ^{2}}$ 증감표를 그려보면

$\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow +0} g ( x ) = - \infty$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow -0} g ( x ) = + \infty$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow +\infty} g ( x ) = + \infty$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow -\infty} g ( x ) = + \infty$ $y = g ( x )$, $y = m$의 그래프를 그리면

$f ( m )$은 $y = g ( x )$와 $y = m$의 교점의 개수이므로

따라서, $a$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{15}{4}$이다.