교점 개수 함수의 불연속

[출제의도] 함수의 연속 문제 해결하기 조건 (나)에 의해 $\displaystyle n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$일 때, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $n$만큼, $y$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{n}{2}$만큼 평행이동한 것이다. 또한 조건 (다)에 의해 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이다. 따라서 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$y = g \left( x \right)$

함수 $y = \left| x \right| - t$의 그래프는 함수 $y = \left| x \right|$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $- t$만큼 평행이동한 것이다. 실수 $t$가 변함에 따라 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 함수 $y = \left| x \right| - t$의 그래프의 교점의 개수는 다음과 같다. ① $t < 0$일 때 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 함수 $y = \left| x \right| - t$의 그래프가 만나는 점의 개수는 $0$이므로 $h \left( t \right) = 0$이다.

② $t = 0$일 때 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 함수 $y = \left| x \right| - t$의 그래프가 만나는 점의 개수는 $3$이므로 $h \left( t \right) = 3$이다.

③ $\displaystyle 0 < t < \frac{1}{16}$일 때 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 함수 $y = \left| x \right| - t$의 그래프가 만나는 점의 개수는 $6$이므로 $h \left( t \right) = 6$이다.

④ $\displaystyle t = \frac{1}{16}$일 때 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 함수 $y = \left| x \right| - t$의 그래프가 접하는 가장 작은 $t$의 값은 방정식 $\displaystyle x ^{2} + \frac{1}{2} x = x - t$가 중근을 가질 때의 $t$의 값이다. 따라서 $\displaystyle t = \frac{1}{16}$이다. 이때 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 함수 $y = \left| x \right| - t$의 그래프가 만나는 점의 개수는 $4$이므로 $h \left( t \right) = 4$이다.

⑤ $\displaystyle \frac{1}{16} < t < \frac{1}{2}$일 때 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 함수 $y = \left| x \right| - t$의 그래프가 만나는 점의 개수는 $2$이므로 $h \left( t \right) = 2$이다.

⑥ $\displaystyle t = \frac{1}{2}$일 때 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 함수 $y = \left| x \right| - t$의 그래프가 만나는 점의 개수는 $4$이므로 $h \left( t \right) = 4$이다.

따라서 함수 $h \left( t \right)$가 $t = 0$, $\displaystyle \frac{1}{16}$에서 불연속이므로 $\alpha _{1} = 0$, $\displaystyle \alpha _{2} = \frac{1}{16}$ 이다. 이때 $x \geq 0$에서 $y = \left| x \right| - t$의 방정식은 각각 $y = x$, $\displaystyle y = x - \frac{1}{16}$ 이고, $x$축의 방향으로 $n$만큼, $y$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{n}{2}$만큼 평행이동하면 방정식은 각각 다음과 같다. $\displaystyle y = \left( x - n \right) + \frac{n}{2} = x - \frac{1}{2} n$, $\displaystyle y = \left( x - n \right) - \frac{1}{16} + \frac{n}{2} = x - \left( \frac{1}{16} + \frac{1}{2} n \right)$ 그러므로 함수 $h \left( t \right)$가 $t = \alpha$에서 불연속인 $\alpha$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 다음과 같다. $\displaystyle 0 , \frac{1}{16} , \frac{1}{2} , \left( \frac{1}{16} + \frac{1}{2} \right) , \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) , \cdots$ 따라서 $\displaystyle \alpha _{2 n} = \frac{1}{16} + \frac{1}{2} \left( n - 1 \right)$ 이므로 $\displaystyle 16 \alpha _{20} = 16 \left( \frac{1}{16} + \frac{1}{2} \times 9 \right) = 73$이다. [참고] 함수 $y = h \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{1}{16}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$ $\displaystyle 1 + \frac{1}{16}$ $\cdots$ $y = h \left( t \right)$