교점 개수 함수의 불연속

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f \left( x \right)$가 극값을 갖지 않으면 실수 전체의 집합에서 증가한다. $g \left( t \right)$는 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = t$가 만나는 점의 개수이므로 모든 실수 $t$에 대하여 $g \left( t \right) = 1$ 그러므로 모든 실수 $t$에 대하여 $g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) = 2$가 되어 조건을 만족시키지 않는다.

삼차함수 $f \left( x \right)$의 극솟값을 $\alpha$, 극댓값을 $\beta$라 하자. $\left( \alpha , \beta \right.$는 $\alpha < \beta$인 상수$\left. \right)$ $\displaystyle g \left( t \right) = \begin{cases} 1 & & \left( t < \alpha \text{또는} t > \beta \right) \\ 2 & & \left( t = \alpha \text{또는} t = \beta \right) \\ 3 & & \left( \alpha < t < \beta \right) \end{cases}$ 함수 $g \left( t \right)$는 $t = \alpha$와 $t = \beta$에서만 불연속이고, 함수 $g \left( t - 4 \right)$는 $t = \alpha + 4$와 $t = \beta + 4$에서만 불연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \alpha +} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \alpha +} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow \alpha +} g \left( t - 4 \right) = 3 + 1 = 4$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \alpha -} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \alpha -} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow \alpha -} g \left( t - 4 \right) = 1 + 1 = 2$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \alpha +} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\} \neq \lim\limits _{t \rightarrow \alpha -} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\}$이고, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( \beta + 4 \right) +} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \left( \beta + 4 \right) +} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow \left( \beta + 4 \right) +} g \left( t - 4 \right) = 1 + 1 = 2$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( \beta + 4 \right) -} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \left( \beta + 4 \right) -} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow \left( \beta + 4 \right) -} g \left( t - 4 \right) = 1 + 3 = 4$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( \beta + 4 \right) +} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\} \neq \lim\limits _{t \rightarrow \left( \beta + 4 \right) -} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\}$ 에서 함수 $g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right)$는 $t = \alpha$, $t = \beta + 4$에서 불연속이다. 조건에 의하여 함수 $g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right)$는 $t = 0$과 $t = a$에서만 불연속이고 $a > 0$이므로 $\alpha = 0$, $\beta + 4 = a$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 함수 $g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right)$는 $t = \alpha$, $t = \beta + 4$에서만 불연속이므로 $t = \alpha + 4$에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) +} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) -} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\}$ $= g \left( \alpha + 4 \right) + g \left( \alpha \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) +} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) +} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) +} g \left( t - 4 \right) = \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) +} g \left( t \right) + 3$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) -} \left\{ g \left( t \right) + g \left( t - 4 \right) \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) -} g \left( t \right) + \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) -} g \left( t - 4 \right) = \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) -} g \left( t \right) + 1$, $g \left( \alpha + 4 \right) + g \left( \alpha \right) = g \left( \alpha + 4 \right) + 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) +} g \left( t \right) + 3 = \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) -} g \left( t \right) + 1 = g \left( \alpha + 4 \right) + 2$ 이때 모든 실수 $t$에 대하여 $g \left( t \right) = 1$ 또는 $g \left( t \right) = 2$ 또는 $g \left( t \right) = 3$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) +} g \left( t \right) = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( \alpha + 4 \right) -} g \left( t \right) = 3$, $g \left( \alpha + 4 \right) = 2$ 그러므로 $\beta = \alpha + 4$ ㉠에 의하여 $\beta = 4$, $a = 8$ 그러므로 함수 $f \left( x \right)$의 극솟값은 $0$, 극댓값은 $4$이다. 함수 $f \left( x \right)$가 극소가 되는 $x$의 값을 $b$라 하자. (ⅰ) $b = 0$일 때

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 $x$축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점의 $x$좌표를 $c \left( c < 0 \right)$이라 하자. $f \left( 0 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) = x ^{2} \left( x - c \right)$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 2 cx = x \left( 3 x - 2 c \right)$에서 $\displaystyle f' \left( \frac{2}{3} c \right) = 0$ 그러므로 함수 $f \left( x \right)$는 $\displaystyle x = \frac{2}{3} c$에서 극댓값 $4$를 갖는다. $\displaystyle f \left( \frac{2}{3} c \right) = - \frac{4}{27} c ^{3} = 4$이므로 $c = - 3$에서 $f \left( x \right) = x ^{2} \left( x + 3 \right)$ 그러므로 $f \left( a \right) = f \left( 8 \right) = 704$ (ⅱ) $b \neq 0$일 때

$f \left( 0 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) = x \left( x - b \right) ^{2}$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 4 bx + b ^{2} = \left( 3 x - b \right) \left( x - b \right)$에서 $\displaystyle f' \left( \frac{b}{3} \right) = 0$ 그러므로 함수 $f \left( x \right)$는 $\displaystyle x = \frac{b}{3}$에서 극댓값 $4$를 갖는다. $\displaystyle f \left( \frac{b}{3} \right) = \frac{4}{27} b ^{3} = 4$이므로 $b = 3$에서 $f \left( x \right) = x \left( x - 3 \right) ^{2}$ 그러므로 $f \left( a \right) = f \left( 8 \right) = 200$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f \left( a \right)$의 최솟값은 $200$