교점 개수 함수 연속

[출제의도] 함수의 연속을 이용하여 추론하기 $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2} - a ^{2} + b$이므로 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $\left( a , - a ^{2} + b \right)$ $f \left( x + a \right) = x ^{2} - a ^{2} + b$이므로 이차함수 $y = f \left( x + a \right)$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $\left( 0 , - a ^{2} + b \right)$이고 $g \left( a \right) = f \left( 2 a \right) = b$ (ⅰ) $a ^{2} - b \leq 0$일 때 $- a ^{2} + b \geq 0$이므로 두 함수 $y = g \left( x \right) , y = h \left( t \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$t > b$일 때 $h \left( t \right) - 2 = 0$이고 $t < \mathit{-} a ^{2} + b + k$일 때 $h \left( t - k \right) = 0$이다. (a) $k > a ^{2}$일 때 모든 실수 $t$에 대하여 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right) = 0$ 이므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (b) $k = a ^{2}$일 때 $\displaystyle \left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right) = {\begin{cases} 0 & \left( t \ne b \right) \\ 1 & \left( t = b \right) \end{cases}}$이므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 $t = b$에서 불연속이다. (c) $k < a ^{2}$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b +} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\}} = 0$이고 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b +} {h \left( t - k \right) = \alpha _{1}} \left( \alpha _{1} = 2 , 3 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b +} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right) = 0}$ 한편 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\}} = 1$이고 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {h \left( t - k \right) = \beta _{1}} \left( \beta _{1} = 2 , 3 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\}} h \left( t - k \right) \ne 0$ 그러므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 $t = b$에서 불연속이다. (a), (b), (c)에 의해 $k > a ^{2}$인 임의의 실수 $k$에 대해서만 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (ⅱ) $0 < a ^{2} - b < b$인 경우 두 함수 $y = g \left( x \right) , y = h \left( t \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$t > b$일 때 $h \left( t \right) - 2 = 0$이고 $t < \mathit{-} a ^{2} + b + k$일 때 $h \left( t - k \right) = 0$이다. (a) $k > a ^{2}$일 때 모든 실수 $t$에 대하여 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right) = 0$ 이므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (b) $k = a ^{2}$일 때 $\displaystyle \left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right) = {\begin{cases} 0 & \left( t \ne b \right) \\ 1 & \left( t = b \right) \end{cases}}$이므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 $t = b$에서 불연속이다. ($c$) $k < a ^{2}$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b +} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\}} = 0$이고 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b +} {h \left( t - k \right)} = \alpha _{2} \left( \alpha _{2} = 2 , 3 , 4 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b +} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)} = 0$ 한편 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\}} = 1$이고 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {h \left( t - k \right)} = \beta _{2} \left( \beta _{2} = 2 , 3 , 4 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)} \ne 0$ 그러므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 $t = b$에서 불연속이다. (a), (b), ($c$)에 의해 $k > a ^{2}$인 임의의 실수 $k$에 대해서만 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (ⅲ) $a ^{2} - b = b$인 경우 두 함수 $y = g \left( x \right) , y = h \left( t \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$t > b$일 때 $h \left( t \right) - 2 = 0$이고 $t < \mathit{-} b + k$일 때 $h \left( t - k \right) = 0$이다. (a) $k > 2 b$일 때 모든 실수 $t$에 대하여 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right) = 0$ 이므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (b) $k = 2 b$일 때 $\displaystyle \left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right) = {\begin{cases} 0 & \left( t \ne b \right) \\ 1 & \left( t = b \right) \end{cases}}$이므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 $t = b$에서 불연속이다. ($c$) $k < 2 b$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b +} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\}} = 0$이고 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b +} {h \left( t - k \right)} = \alpha _{3} \left( \alpha _{3} = 2 , 4 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b +} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)} = 0$ 한편 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\}} = 2$이고 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {h \left( t - k \right)} = \beta _{3} \left( \beta _{3} = 2 , 4 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b -} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)} \ne 0$ 그러므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 $t = b$에서 불연속이다. (a), (b), ($c$)에 의해 $k > 2 b$인 임의의 실수 $k$에 대해서만 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (ⅳ) $a ^{2} - b > b$인 경우 두 함수 $y = g \left( x \right) , y = h \left( t \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$t \geq a ^{2} - b$일 때 $h \left( t \right) - 2 = 0$이고 $t < \mathit{-} a ^{2} + b + k$일 때 $h \left( t - k \right) = 0$이다. (a) $k \geq 2 \left( a ^{2} - b \right)$일 때 모든 실수 $t$에 대하여 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right) = 0$ 이므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (b) $k < 2 \left( a ^{2} - b \right)$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( a ^{2} - b \right) +} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\}} = 0$이고 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( a ^{2} - b \right) +} {h \left( t - k \right)} = \alpha _{4} \left( \alpha _{4} = 2 , 3 , 4 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( a ^{2} - b \right) +} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)} = 0$ 한편 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( a ^{2} - b \right) -} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\}} = 1$이고 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( a ^{2} - b \right) -} {h \left( t - k \right)} = \beta _{4} \left( \beta _{4} = 2 , 3 , 4 \right)$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \left( a ^{2} - b \right) -} {\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)} \ne 0$ 그러므로 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 $t = a ^{2} - b$에서 불연속이다. (a), (b)에 의해 $k \geq 2 \left( a ^{2} - b \right)$인 임의의 실수 $k$에 대해서만 함수 $\left\{ h \left( t \right) - 2 \right\} h \left( t - k \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (ⅰ)~(ⅳ)에서 조건을 만족시키는 경우는 (ⅳ)이므로 $2 \left( a ^{2} - b \right) = 24$ $a ^{2} - b = 12$에서 $b = a ^{2} - 12 > 0$이므로 $a ^{2} > 12$ $a ^{2} - b > b$에서 $a ^{2} - 2 b$$= a ^{2} - 2 \left( a ^{2} - 12 \right)$ $= 24 - a ^{2} > 0$ 이므로 $a ^{2} < 24$ 그러므로 $12 < a ^{2} < 24$ $a$는 자연수이므로 $a = 4 , b = 4$ 따라서 $10 a + b = 44$