교점 개수 함수 불연속

[출제의도] 함수의 연속을 활용하여 문제해결하기 [그림1]과 같이 $x = 2$일 때, 원 $O$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 만나는 서로 다른 점의 개수는 $3$이다. $\therefore$ $f \left( 2 \right) = 3$ $0 < x < 2$에서 원 $O$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 만나는 서로 다른 점의 개수는 $2$이다. $\therefore$ $f \left( x \right) = 2$($0 < x < 2$)

[그림1]

[그림2]와 같이 원 $O$가 선분 $\mathrm{AC}$에 접할 때, 접하는 점을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{AHP}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} : {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{AP}}} : {\overline{\mathrm{HP}}}$ $5 : 3 = x : 2$ $\displaystyle x = \frac{10}{3}$ $\displaystyle x = \frac{10}{3}$일 때, $\displaystyle f \left( \frac{10}{3} \right) = 3$ $\displaystyle 2 < x < \frac{10}{3}$에서 원 $O$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 만나는 서로 다른 점의 개수는 $4$이다. $\therefore$ $f \left( x \right) = 4$($\displaystyle 2 < x < \frac{10}{3}$) $\displaystyle \frac{10}{3} < x < 4$에서 원 $O$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 만나는 서로 다른 점의 개수는 $2$이다. $\therefore$ $f \left( x \right) = 2$($\displaystyle \frac{10}{3} < x < 4$)

[그림2]

따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 2 _{} & & \left( 0 < x < 2 \right) \\ 3 ^{} & & \left( x = 2 \right) \\ 4 & & ( 2 < x < \frac{10}{3} ) \\ 3 & & ( x = \frac{10}{3} ) \\ 2 & & ( \frac{10}{3} < x < 4 ) \end{cases}}$ 함수 $y = f ( x )$를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f \left( x \right)$가 $x = 2$, $\displaystyle x = \frac{10}{3}$에서 불연속이므로 모든 실수 $a$의 값의 합은 $\displaystyle 2 + \frac{10}{3} = \frac{16}{3}$이다. $\therefore$ $p = 3$, $q = 16$ 따라서 $p + q = 19$