교대급수 적분 빈칸

자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle S _{n} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + ( - 1 ) ^{n - 1} \cdot \frac{1}{2 n - 1}$ 이라 할 때, 다음은 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}$의 값을 구하는 과정이다.

$1 - x ^{2} + x ^{4} - x ^{6} + \cdots + ( - 1 ) ^{n - 1} \cdot x ^{2 n - 2}$ $\displaystyle = {\square {( \text{가} )}} - ( - 1 ) ^{n} \cdot \frac{x ^{2 n}}{1 + x ^{2}}$이므로 $\displaystyle S _{n} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + ( - 1 ) ^{n - 1} \cdot \frac{1}{2 n - 1}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} \left\{ 1 - x ^{2} + x ^{4} - x ^{6} + \cdots + ( - 1 ) ^{n - 1} \cdot x ^{2 n - 2} \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} {\square {( \text{가} )}} dx$$\displaystyle - ( - 1 ) ^{n} \int _{0} ^{1} \frac{x ^{2n}}{1 + x ^{2}} dx$ 이다. 한편, $\displaystyle 0 \leq \frac{x ^{2 n}}{1 + x ^{2}} \leq x ^{2 n}$이므로 $\displaystyle 0 \leq \int _{0} ^{1} {} \frac{x ^{2 n}}{1 + x ^{2}} dx \leq \int _{0} ^{1} {} x ^{2 n} dx = {\square {( \text{나} )}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \int _{0} ^{1} {} \frac{x ^{2 n}}{1 + x ^{2}} dx = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} {\square {( \text{가} )}} dx$이다. $x = \tan \theta$$\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$로 놓으면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} {\square {( \text{가} )}} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{4}} {} \frac{\sec ^{2} \theta}{1 + \tan ^{2} \theta} d \theta$$= \square {( \text{다} )}$ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( x )$, $g ( n )$, (다)에 알맞은 수를 $k$라 할 때, $k \times f ( 2 ) \times g ( 2 )$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{\pi}{40}$②$\displaystyle \frac{\pi}{60}$③$\displaystyle \frac{\pi}{80}$④$\displaystyle \frac{\pi}{100}$⑤$\displaystyle \frac{\pi}{120}$