공통수학1이차방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

계수를 품은 무리수 근에서 계수 결정하기

문제

유리수 aa, bb에 대하여 xx에 대한 이차방정식 x2+ax+b=0x ^{2} + ax + b = 0의 한 근이 b+a\displaystyle b + \sqrt{a}일 때, a−ba - b의 값을 구하시오. (단, a\displaystyle \sqrt{a}는 무리수이다.) [4점]

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해설

계수가 유리수이고 a\displaystyle \sqrt{a}가 무리수이므로 b+a\displaystyle b + \sqrt{a}가 근이면 b−a\displaystyle b - \sqrt{a}도 근이다. 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합: 2b=−a2 b = - a …㉠ 두 근의 곱: b2−a=bb ^{2} - a = b …㉡ ㉠에서 a=−2ba = - 2 b를 ㉡에 대입하면 b2+2b=bb ^{2} + 2 b = b, b2+b=0b ^{2} + b = 0, b(b+1)=0b ( b + 1 ) = 0 b=0b = 0이면 a=0a = 0이 되어 a=0\displaystyle \sqrt{a} = 0은 무리수가 아니므로 b≠0b \ne 0 따라서 b=−1b = - 1, a=2a = 2 이때 방정식은 x2+2x−1=0x ^{2} + 2 x - 1 = 0이고 근 −1+2\displaystyle - 1 + \sqrt{2}는 실제로 b+a\displaystyle b + \sqrt{a}이다. 따라서 a−b=2−(−1)=3a - b = 2 - ( - 1 ) = 3

태그

#켤레근#유리수 계수#근과 계수의 관계#미정계수

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