계수 부호에 따른 정수해 개수

$\left| x - 1 \right| < 3$에서 $- 3 < x - 1 < 3$이므로 $- 2 < x < 4$ ㉠ ㉠을 만족시키는 정수 $x$는 $- 1$, $0$, $1$, $2$, $3$의 $5$개이다. (ⅰ) $a > 0$인 경우 $ax \leq 4$의 해는 $\displaystyle x \leq \frac{4}{a}$이므로 연립부등식의 해는 $\displaystyle - 2 < x \leq \frac{4}{a}$ 정수 $x$의 개수가 $3$이려면 정수 $x$는 $- 1$, $0$, $1$ $\displaystyle 1 \leq \frac{4}{a} < 2$에서 $2 < a \leq 4$ 정수 $a$는 $3$, $4$ (ⅱ) $a = 0$인 경우 $0 \leq 4$는 항상 성립하므로 연립부등식의 해는 ㉠과 같고 정수 $x$는 $5$개이다. (ⅲ) $a < 0$인 경우 $ax \leq 4$의 해는 $\displaystyle x \geq \frac{4}{a}$이고 $\displaystyle \frac{4}{a} < 0$이므로 연립부등식의 해는 $0$, $1$, $2$, $3$을 모두 포함하여 정수 $x$가 $4$개 이상이다. (ⅰ)~(ⅲ)에서 조건을 만족시키는 정수 $a$는 $3$, $4$ 따라서 모든 정수 $a$의 값의 합은 $3 + 4 = 7$ ④