계승 점화식 빈칸 추론

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 $a _{1} = 3$이고, $\displaystyle 2 a _{n+1} = 3 a _{n} - \frac{6 n + 2}{( n + 1 ) !}$ ($n \geq 1$) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a _{n}$을 구하는 과정이다.

주어진 식에 의하여 $\displaystyle 2 a _{n+1} = 3 a _{n} - \frac{6 ( n + 1 ) - 4}{( n + 1 ) !}$ 이다. $\displaystyle 2 a _{n+1} - \frac{4}{( n + 1 ) !} = 3 a _{n} - 3 \times \square {( \text{가} )}$ 이므로, $b _{n} = a _{n} - \square {( \text{가} )}$라 하면 $2 b _{n+1} = 3 b _{n}$ 이다. $\displaystyle b _{n + 1} = \frac{3}{2} b _{n}$이고 $b _{1} = 1$이므로 $b _{n} = \square {( \text{나} )}$ 이다. 그러므로 $a _{n} = \square {( \text{가} )} + \square {( \text{나} )}$이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( n )$, $g ( n )$이라 할 때, $f ( 3 ) \times g ( 3 )$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{1}{2}$②$\displaystyle \frac{7}{12}$③$\displaystyle \frac{2}{3}$④$\displaystyle \frac{3}{4}$⑤$\displaystyle \frac{5}{6}$