공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

겹친 정사각형 넓이

문제

한 변의 길이가 aa인 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}와 한 변의 길이가 bb인 정사각형 EFGH\mathrm{EFGH}가 있다. 그림과 같이 네 점 A\mathrm{A}, E\mathrm{E}, B\mathrm{B}, F\mathrm{F}가 한 직선 위에 있고 EB‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{EB}} = 1, AF‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = 5가 되도록 두 정사각형을 겹치게 놓았을 때, 선분 CD\mathrm{CD}와 선분 HE\mathrm{HE}의 교점을 I\mathrm{I}라 하자. 직사각형 EBCI\mathrm{EBCI}의 넓이가 정사각형 EFGH\mathrm{EFGH}의 넓이의 14\displaystyle \frac{1}{4}일 때, bb의 값은? (단, 1<a<b<51 < a < b < 5) [4점]

①−2+26\displaystyle - 2 + \sqrt{26}②−2+33\displaystyle - 2 + 3 \sqrt{3}③−2+27\displaystyle - 2 + 2 \sqrt{7}④−2+29\displaystyle - 2 + \sqrt{29}⑤−2+30\displaystyle - 2 + \sqrt{30}

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③

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해설

[출제의도] 연립이차방정식을 이용하여 도형 문제추론하기 AB‾=a\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = a, EF‾=b\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} = b이고 AF‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = 5, EB‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{EB}}} = 1이므로 a+b=6a + b = 6, a=6−ba = 6 - b …① 이다. 직사각형 EBCI\mathrm{EBCI}의 넓이는 aa, 정사각형 EFGH\mathrm{EFGH}의 넓이는 b2b ^{2}이므로 a=14b2\displaystyle a = \frac{1}{4} b ^{2} … ② 이다. ①을 ②에 대입하면 6−b=14b2\displaystyle 6 - b = \frac{1}{4} b ^{2}이므로 b2+4b−24=0b ^{2} + 4 b - 24 = 0이다. 그러므로 b=−2±27\displaystyle b = \mathit{-} 2 \pm 2 \sqrt{7}이다. 한편, ①과 a<ba < b에 의해서 6−b<b6 - b < b이므로 b>3b > 3이다. 따라서 b=−2+27\displaystyle b = \mathit{-} 2 + 2 \sqrt{7}이다.

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