대수수열의 합수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

격자점 개수 합

문제

좌표평면에서 자연수 nn에 대하여 함수 f(x)f ( x )를 f(x)=−(x−n)2+∣12n−592n−11∣\displaystyle f ( x ) = - ( x - n ) ^{2} + \left| \frac{12 n - 59}{2 n - 11} \right| 라 하자. 영역 {(x,y)∣x>0,0<y≤f(x)}\left\{ ( x , y ) | x > 0 , 0 < y \leq f ( x ) \right\}에 포함되고 xx좌표와 yy좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=515an\displaystyle \sum\limits _{n = 5} ^{15} a _{n}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 문제해결하기 g(n)=∣12n−592n−11∣\displaystyle g ( n ) = \left| \frac{12 n - 59}{2 n - 11} \right|라 하면 lim⁡n→∞g(n)=6\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} g ( n ) = 6 특히 n≥10n \geq 10이면 6<g(n)<76 < g ( n ) < 7 이차함수 f(x)f ( x )는 (n,g(n))( n , g ( n ) )이 꼭짓점인 위로 볼록한 함수이다. ⅰ) n=5n = 5이면 g(n)=1g ( n ) = 1이므로 a5=1a _{5} = 1

ⅱ) n=6n = 6이면 g(n)=13g ( n ) = 13이므로 a6=63a _{6} = 63

ⅲ) n=7n = 7이면 8<g(n)<98 < g ( n ) < 9이므로 a7=30a _{7} = 30

ⅳ) n=8,9n = 8 , 9이면 7≤g(n)<87 \leq g ( n ) < 8이므로 a8=a9=25a _{8} = a _{9} = 25

ⅴ) n≥10n \geq 10이면 6<g(n)<76 < g ( n ) < 7이므로 an=20a _{n} = 20

∴∑n=515an=1+63+30+25+25+20+⋯+20=264\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 5} ^{15} a _{n} = 1 + 63 + 30 + 25 + 25 + 20 + \cdots + 20 = 264

태그

#격자점#이차함수#시그마

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