공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

격자 정사각형 개수

문제

좌표평면에서 자연수 nn에 대하여 영역 {(x,y)∣0≤x≤n,0≤y≤x+32}\displaystyle \left\{ \left( x , y \right) | 0 \leq x \leq n , 0 \leq y \leq \frac{\sqrt{x + 3}}{2} \right\} 에 포함되는 정사각형 중에서 다음 조건을 만족시키는 모든 정사각형의 개수를 f(n)f ( n )이라 하자. (가) 각 꼭짓점의 xx좌표, yy좌표가 모두 정수이다. (나) 한 변의 길이가 5\displaystyle \sqrt{5}이하이다.

예를 들어 f(14)=15f ( 14 ) = 15이다. f(n)≤400f ( n ) \leq 400을 만족시키는 자연수 nn의 최댓값을 구하시오. [4점]

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6565

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해설

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 자연수 nn의 최댓값을 구할 수 있는가? y=my = m (mm은 자연수)라 하면 x+32=m,x+3=2m\displaystyle \frac{\sqrt{x + 3}}{2} = m , \sqrt{x + 3} = 2 m에서 x=4m2−3x = 4 m ^{2} - 3이므로 x≥0x \geq 0에서 곡선 y=x+32\displaystyle y = \frac{\sqrt{x + 3}}{2}은 그림과 같다.

(ⅰ) n=1n = 1일 때 주어진 조건을 만족하는 정사각형은 존재하지 않는다. f(1)=0f ( 1 ) = 0 (ⅱ) n=kn = k (1<k≤131 < k \leq 13인 자연수)일 때 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 11인 정사각형의 개수는 k−1k - 1이므로 f(13)=12f ( 13 ) = 12 (ⅲ) n=kn = k (13<k≤3313 < k \leq 33인 자연수)일 때 ① 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 11인 정사각형의 개수는 (k−1)+(k−13)=2k−14\left( k - 1 \right) + \left( k - 13 \right) = 2 k - 14 ② 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 2\displaystyle \sqrt{2}인 정사각형은 그림과 같다.

따라서 정사각형의 개수는 k−13k - 13 (13<k≤3313 < k \leq 33인 자연수) ③ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 22인 정사각형은 그림과 같다.

따라서 정사각형의 개수는 k−14k - 14 (13<k≤3313 < k \leq 33인 자연수)이다. ①, ②, ③에 의하여 f(33)=52+20+19=91f ( 33 ) = 52 + 20 + 19 = 91 (ⅳ) n=kn = k (33<k≤6133 < k \leq 61인 자연수)일 때 ① 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 11인 정사각형의 개수는 (k−1)+(k−13)+(k−33)=3k−47\left( k - 1 \right) + ( k - 13 ) + ( k - 33 ) = 3 k - 47 ② 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 2\displaystyle \sqrt{2}인 정사각형의 개수는 (k−13)+(k−33)=2k−46\left( k - 13 \right) + \left( k - 33 \right) = 2 k - 46 (33<k≤6133 < k \leq 61인 자연수) ③ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 22인 정사각형의 개수는 (k−14)+(k−34)=2k−48\left( k - 14 \right) + \left( k - 34 \right) = 2 k - 48 (33<k≤6133 < k \leq 61인 자연수) ④ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 5\displaystyle \sqrt{5}인 정사각형은 그림과 같다.

따라서 정사각형의 개수는 2(k−34)+1=2k−672 ( k - 34 ) + 1 = 2 k - 67 ①, ②, ③, ④에 의하여 f(61)=136+76+74+55=341f ( 61 ) = 136 + 76 + 74 + 55 = 341 (ⅴ) n=kn = k (61<k≤9761 < k \leq 97인 자연수)일 때 ① 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 11인 정사각형의 개수는 (k−1)+(k−13)+(k−33)+(k−61)=4k−108\left( k - 1 \right) + \left( k - 13 \right) + \left( k - 33 \right) + \left( k - 61 \right) = 4 k - 108 ② 주어진 조건을 만족시는 한 변의 길이가 2\displaystyle \sqrt{2}인 정사각형의 개수는 (k−13)+(k−33)+(k−61)=3k−107\left( k - 13 \right) + \left( k - 33 \right) + \left( k - 61 \right) = 3 k - 107 (61<k≤9761 < k \leq 97인 자연수) ③ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 22인 정사각형의 개수는 (k−14)+(k−34)+(k−62)=3k−110\left( k - 14 \right) + \left( k - 34 \right) + \left( k - 62 \right) = 3 k - 110 (61<k≤9761 < k \leq 97인 자연수) ④ 주어진 조건을 만족시키는 한 변의 길이가 5\displaystyle \sqrt{5}인 정사각형의 개수는 2(k−34)+1+2(k−62)+1=4k−1902 ( k - 34 ) + 1 + 2 \left( k - 62 \right) + 1 = 4 k - 190 따라서, f(64)=148+85+82+66=381f ( 64 ) = 148 + 85 + 82 + 66 = 381 f(65)=152+88+85+70=395f ( 65 ) = 152 + 88 + 85 + 70 = 395 f(66)=156+91+88+74=409f ( 66 ) = 156 + 91 + 88 + 74 = 409 이므로 f(n)≤400f ( n ) \leq 400을 만족시키는 자연수 nn의 최댓값은 6565이다.

태그

#무리함수#격자점#경우의 수

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