귀납적으로 정의된 수열

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기 (ⅰ) $a _{1} = 1$일 때 $a _{1} \geq 0$이므로 $a _{2} = a _{1} - 2 = - 1$ $a _{2} < 0$이므로 $a _{3} = a _{2} + 5 = 4$ $a _{3} \geq 0$이므로 $a _{4} = a _{3} - 2 = 2$ $a _{4} \geq 0$이므로 $a _{5} = a _{4} - 2 = 0$ $a _{5} \geq 0$이므로 $a _{6} = a _{5} - 2 = - 2$ $a _{6} < 0$이므로 $a _{7} = a _{6} + 5 = 3$ $a _{7} \geq 0$이므로 $a _{8} = a _{7} - 2 = 1 = a _{1}$ $a _{8} \geq 0$이므로 $a _{9} = a _{8} - 2 = - 1 = a _{2}$ $\vdots$ 그러므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n + 7} = a _{n}$을 만족시키고 $a _{15} = a _{8} = a _{1} = 1$ (ⅱ) $a _{1} = 2$일 때 (ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n + 7} = a _{n}$을 만족시키고 $a _{15} = a _{8} = a _{1} = 2$ (ⅲ) $a _{1} = 3$일 때 (ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n + 7} = a _{n}$을 만족시키고 $a _{15} = a _{8} = a _{1} = 3$ (ⅳ) $a _{1} = 4$일 때 (ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n + 7} = a _{n}$을 만족시키고 $a _{15} = a _{8} = a _{1} = 4$ (ⅴ) $a _{1} = 5$일 때 $a _{1} \geq 0$이므로 $a _{2} = a _{1} - 2 = 3$ $a _{2} \geq 0$이므로 $a _{3} = a _{2} - 2 = 1$ $a _{3} \geq 0$이므로 $a _{4} = a _{3} - 2 = - 1$ $a _{4} < 0$이므로 $a _{5} = a _{4} + 5 = 4$ $a _{5} \geq 0$이므로 $a _{6} = a _{5} - 2 = 2$ $a _{6} \geq 0$이므로 $a _{7} = a _{6} - 2 = - 2$ $a _{7} \geq 0$이므로 $a _{8} = a _{7} - 2 = - 2$ $a _{8} < 0$이므로 $a _{9} = a _{8} + 5 = 3 = a _{2}$ $a _{9} \geq 0$이므로 $a _{10} = a _{9} - 2 = 1 = a _{3}$ $\vdots$ 그러므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 $2$이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n + 7} = a _{n}$을 만족시키고 $a _{15} = a _{8} = - 2 < 0$ 따라서 $a _{15} < 0$이 되도록 하는 $a _{1}$의 최솟값은 $5$이다.