귀납적으로 정의된 수열

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열에서 특정한 항의 값의 합을 구할 수 있는가? $a _{1} = 2$ 이므로 $\displaystyle a _{2} = \frac{a _{1}}{2 - 3 a _{1}} = \frac{2}{2 - 6} = - \frac{1}{2}$ $\displaystyle a _{3} = 1 + a _{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $\displaystyle a _{4} = \frac{a _{3}}{2 - 3 a _{3}} = \frac{\frac{1}{2}}{2 - \frac{3}{2}} = 1$ $a _{5} = 1 + a _{4} = 1 + 1 = 2$ $\vdots$ 이때, $a _{n} = a _{n + 4}$ ($n$은 자연수) 이므로 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} = a _{5} + a _{6} + a _{7} + a _{8} = \cdots$ $= a _{37} + a _{38} + a _{39} + a _{40} = 3$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{40} a _{n} = 10 \times 3 = 30$