귀납적으로 정의된 수열

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 $a _{9}$의 최댓값과 최솟값의 합을 구할 수 있는가? (ⅰ) $a _{6}$이 $3$의 배수인 경우 $a _{7} = 40$이므로 $\displaystyle \frac{a _{6}}{3} = a _{7}$ $a _{6} = 3 a _{7} = 3 \times 40 = 120$ $a _{7} = 40$이 $3$의 배수가 아니므로 $a _{8} = a _{6} + a _{7} = 120 + 40 = 160$ $a _{8} = 160$이 $3$의 배수가 아니므로 $a _{9} = a _{7} + a _{8} = 40 + 160 = 200$ (ⅱ) $a _{6} = 3 k - 2$($k$는 자연수)인 경우 $a _{5} + a _{6} = a _{7}$ $a _{5}$$= a _{7} - a _{6}$$= 40 - \left( 3 k - 2 \right)$$= 42 - 3 k$$= 3 \left( 14 - k \right)$ $a _{5}$는 자연수이므로 $3 \left( 14 - k \right) > 0$에서 $k < 14$ 한편, $a _{5}$는 $3$의 배수이므로 $\displaystyle a _{6} = \frac{a _{5}}{3}$ 즉, $\displaystyle 3 k - 2 = \frac{3 \left( 14 - k \right)}{3}$에서 $4 k = 16$ $k = 4$ 따라서 $a _{6} = 3 \times 4 - 2 = 10$ 이므로 $a _{8}$$= a _{6} + a _{7}$$= 10 + 40$$= 50$ $a _{8} = 50$이 $3$의 배수가 아니므로 $a _{9}$$= a _{7} + a _{8}$$= 40 + 50$$= 90$ (ⅲ) $a _{6} = 3 k - 1$($k$는 자연수)인 경우 $a _{5} + a _{6} = a _{7}$ $a _{5}$$= a _{7} - a _{6}$$= 40 - \left( 3 k - 1 \right)$$= 41 - 3 k$ $a _{5}$는 자연수이므로 $41 - 3 k > 0$에서 $\displaystyle k < \frac{41}{3}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 한편, $a _{5}$는 $3$의 배수가 아니므로 $a _{4} + a _{5} = a _{6}$에서 $a _{4}$$= a _{6} - a _{5}$$= \left( 3 k - 1 \right) - \left( 41 - 3 k \right)$$= 6 k - 42$$= 3 \left( 2 k - 14 \right)$ $a _{4}$가 자연수이므로 $3 \left( 2 k - 14 \right) > 0$에서 $k > 7$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 7 < k < \frac{41}{3}$ 한편, $a _{4}$는 $3$의 배수이므로 $\displaystyle a _{5} = \frac{a _{4}}{3}$ 즉, $\displaystyle 41 - 3 k = \frac{3 \left( 2 k - 14 \right)}{3}$에서 $5 k = 55$ $k = 11$ 따라서 $a _{6} = 3 \times 11 - 1 = 32$ 이므로 $a _{8}$$= a _{6} + a _{7}$$= 32 + 40$$= 72$ $a _{8} = 72$가 $3$의 배수이므로 $\displaystyle a _{9} = \frac{a _{8}}{3} = \frac{72}{3} = 24$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $a _{9}$의 최댓값은 $M = 200$이고 최솟값은 $m = 24$이다. 따라서 $M + m = 200 + 24 = 224$