귀납적 수열 절댓값

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기 조건 (가), (나)에 의해 $a _{2} = 1 - a _{1}$ $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{a _{2}} = \frac{1}{1 - a _{1}}$ $\displaystyle a _{4} = 1 - a _{3} = - \frac{a _{1}}{1 - a _{1}}$ $\displaystyle a _{5} = \frac{1}{a _{4}} = 1 - \frac{1}{a _{1}}$ $\displaystyle a _{6} = 1 - a _{5} = \frac{1}{a _{1}}$ $\displaystyle a _{7} = \frac{1}{a _{6}} = a _{1}$ $a _{8} = 1 - a _{7} = 1 - a _{1} = a _{2}$ $\vdots$ 그러므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n + 6} = a _{n}$을 만족시킨다. $\displaystyle \left| a _{n} \right| - a _{n} = {\begin{cases} 0 & & & \left( a _{n} \geq 0 \right) \\ - 2 a _{n} & & & \left( a _{n} < 0 \right) \end{cases}}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{14} \left( \left| a _{n} \right| - a _{n} \right) = 10$이 되기 위해서는 $a _{1} , a _{2} , \cdots , a _{14}$ 중에서 음수인 모든 항의 합이 $- 5$이어야 한다. (ⅰ) $0 < a _{1} < 1$일 때 $a _{2} > 0$, $a _{3} > 0$, $a _{4} < 0$, $a _{5} < 0$, $a _{6} > 0$이므로 $a _{4} + a _{5} + a _{10} + a _{11} = - 5$ $a _{4} = s$라 하면 $a _{4} + a _{5} + a _{10} + a _{11}$$\displaystyle = s + \frac{1}{s} + s + \frac{1}{s}$$\displaystyle = 2 s + \frac{2}{s}$$= - 5$ $2 s ^{2} + 5 s + 2 = 0$, $\left( 2 s + 1 \right) \left( s + 2 \right) = 0$에서 $\displaystyle s = - \frac{1}{2}$ 또는 $s = - 2$ $\displaystyle s = - \frac{a _{1}}{1 - a _{1}}$이므로 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{3}$ 또는 $\displaystyle a _{1} = \frac{2}{3}$ (ⅱ) $a _{1} > 1$일 때 $a _{2} < 0$, $a _{3} < 0$, $a _{4} > 0$, $a _{5} > 0$, $a _{6} > 0$이므로 $a _{2} + a _{3} + a _{8} + a _{9} + a _{14} = - 5$ $a _{2} = t$라 하면 $a _{2} + a _{3} + a _{8} + a _{9} + a _{14}$$\displaystyle = t + \frac{1}{t} + t + \frac{1}{t} + t$$\displaystyle = 3 t + \frac{2}{t}$$= - 5$ $3 t ^{2} + 5 t + 2 = 0$, $\left( 3 t + 2 \right) \left( t + 1 \right) = 0$에서 $\displaystyle t = - \frac{2}{3}$ 또는 $t = - 1$ $t = 1 - a _{1}$이므로 $\displaystyle a _{1} = \frac{5}{3}$ 또는 $a _{1} = 2$ 따라서 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{5}{3} + 2 = \frac{14}{3}$