귀납적 정의 빈칸

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle {\begin{cases} a _{1} = 1 _{{} _{{} _{}}} & \\ 4 S _{n + 1} = 3 a _{n + 1} + 10 a _{n} ^{{} ^{{} ^{}}} & \left( n = 1 , 2 , 3 , \cdots \right) \end{cases}}$ 이 성립한다. 다음은 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k + 1} - 5 \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$를 구하는 과정이다.

$4 S _{n + 2} = 3 a _{n + 2} + 10 a _{n + 1}$에서 $a _{n + 2} =$ (가) $7 a _{n + 1} +$ $\times a _{n}$ 이다.

$a _{n + 1} - 5 a _{n} = b _{n}$이라 하면, 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 공비가 $2$인 등비수열이다. (나) $\left( n = 1 , 2 , 3 , \cdots \right)$ $\therefore$

따라서 (다) $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k + 1} - 5 \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} =$

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f ( n )$, $g \left( n \right)$이라 할 때, $\displaystyle \frac{2 \times p \times g \left( 10 \right)}{5 \times f ( 3 )}$의 값은? [3점] ①$- 1027$②$- 1025$③$- 1023$④$- 1021$⑤$- 1019$