대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

귀납법 부등식 증명

문제

22이상의 자연수 nn에 대하여 부등식 (1+1n)n>2\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} > 2가 성립함이 알려져 있다. 다음은 이 사실을 이용하여 nn이 66이상의 자연수일 때, 부등식 (n2)n>n!\displaystyle \left( \frac{n}{2} \right) ^{n} > n !이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (단, n!=1×2×3×⋯×nn ! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n)

<증명> (ⅰ) n=6n = 6일 때, 36=7293 ^{6} = 729, 6!=7206 ! = 720이므로 성립한다. (ⅱ) n=kn = k(k≥6k \geq 6)일 때 성립한다고 가정하면 (k+12)k+1=k+12k+1⋅(k+1)kkk⋅\displaystyle \left( \frac{k + 1}{2} \right) ^{k + 1} = \frac{k + 1}{2 ^{k + 1}} \cdot \frac{( k + 1 ) ^{k}}{k ^{k}} \cdot□\square {} =k+12⋅(1+1k)k⋅\displaystyle = \frac{k + 1}{2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{k} \right) ^{k} \cdot□(가)\square {( \text{가} )} >k+12⋅\displaystyle > \frac{k + 1}{2} \cdot□(나)\square {( \text{나} )} ==□\square {} 이므로 n=k+1n = k + 1일 때도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 부등식은 66 이상의 모든 자연수에 대하여 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) ①kkk ^{k} (k+1)!( k + 1 ) !②kkk ^{k} 2k!2 k !③kkk ^{k} k!k !④(k2)k\displaystyle \left( \frac{k}{2} \right) ^{k} (k+1)!( k + 1 ) !⑤(k2)k\displaystyle \left( \frac{k}{2} \right) ^{k} 2k!2 k !

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⑤

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해설

n=kn = k(k≥6k \geq 6)일 때 성립한다고 가정하면 (k+12)k+1=k+12k+1⋅(k+1)kkk⋅kk\displaystyle \left( \frac{k + 1}{2} \right) ^{k + 1} = \frac{k + 1}{2 ^{k + 1}} \cdot \frac{( k + 1 ) ^{k}}{k ^{k}} \cdot k ^{k}=k+12⋅(1+1k)k⋅(k2)k\displaystyle = \frac{k + 1}{2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{k} \right) ^{k} \cdot \left( \frac{k}{2} \right) ^{k} 그런데 (1+1k)k>2\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{k} \right) ^{k} > 2이고 (k2)k>k!\displaystyle \left( \frac{k}{2} \right) ^{k} > k !이므로 (k+12)k+1\displaystyle \left( \frac{k + 1}{2} \right) ^{k + 1}>k+12⋅2⋅k!\displaystyle > \frac{k + 1}{2} \cdot 2 \cdot k !=(k+1)!= ( k + 1 ) !

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#수학적 귀납법#부등식#증명 빈칸

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