귀납법 부등식 빈칸

다음은 양수 $a$, $b$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $\left( a + b \right) ^{n} - a ^{n} - b ^{n} \geq 2 ^{2n} - 2 ^{n+1}$이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명] (ⅰ) $n = 1$일 때, $( a + b ) - a - b \geq 2 ^{2} - 2 ^{2}$ 이므로 성립한다. (ⅱ) $n = k$일 때 성립한다고 가정하면 $\left( a + b \right) ^{k} - a ^{k} - b ^{k} \geq 2 ^{2 k} - 2 ^{k + 1}$이다. $n = k + 1$일 때 성립함을 보이자. $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$이면 $ab = a + b$이므로 $ab$의 최소값은 (가) 이다. $\left( a + b \right) ^{k + 1} - a ^{k + 1} - b ^{k + 1}$ $=$ (나) $\left\{ \left( a + b \right) ^{k} - a ^{k} - b ^{k} \right\} + a ^{k} b + ab ^{k}$ $\geq$ (가) $\left( 2 ^{2 k} - 2 ^{k + 1} \right) +$ (다)

$= 2 ^{2(k+1)} - 2 ^{(k+1)+1}$ 그러므로 $n = k + 1$일 때도 성립한다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해서 모든 자연수 $n$에 대하여 $\left( a + b \right) ^{n} - a ^{n} - b ^{n} \geq 2 ^{2n} - 2 ^{n+1}$이다.

이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]