대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

귀납 정의 수열의 합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) a2n+1=−an+3an+1a _{2 n + 1} = - a _{n} + 3 a _{n + 1} (나) a2n+2=an−an+1a _{2 n + 2} = a _{n} - a _{n + 1}

a1=1a _{1} = 1, a2=2a _{2} = 2일 때, ∑n=116an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{16} a _{n}의 값은? [4점] ①31②33③35④37⑤39

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①

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해설

(가), (나)에서 a2n+1+a2n+2=2an+1a _{2n+1} + a _{2n+2} = 2 a _{n+1} S2n+2−a1−a2=2(Sn+1−a1)S _{2 n + 2} - a _{1} - a _{2} = 2 ( S _{n + 1} - a _{1} ) 즉 S2n+2=2Sn+1+1S _{2n+2} = 2 S _{n+1} + 1 S2=1+2=3S _{2} = 1 + 2 = 3, S4=2S2+1=7S _{4} = 2 S _{2} + 1 = 7, S8=2S4+1=15S _{8} = 2 S _{4} + 1 = 15 ∴\therefore S16=2S8+1=31S _{16} = 2 S _{8} + 1 = 31

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