과목 선택 경우의 수

어느 학교에서는 ‘확률과 통계’, ‘미적분’, ‘기하’의 수학 과목 $3$개와 ‘물리학Ⅱ’, ‘화학Ⅱ’, ‘생명과학Ⅱ’, ‘지구과학Ⅱ’의 과학 과목 $4$개를 선택 교육 과정으로 운영한다. 두 학생 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 이 $7$개의 과목 중에서 다음 조건을 만족시키도록 과목을 선택하려고 한다.

⦁ $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 각자 $1$개 이상의 수학 과목을 포함한 $3$개의 과목을 선택한다. ⦁ $\mathrm{A}$가 선택하는 $3$개의 과목과 $\mathrm{B}$가 선택하는 $3$개의 과목 중에서 서로 일치하는 과목의 개수는 $1$이다.

다음은 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 과목을 선택하는 경우의 수를 구하는 과정이다.

$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 선택하는 과목 중에서 서로 일치하는 과목이 수학 과목인 경우와 과학 과목인 경우로 나누어 구할 수 있다. (ⅰ) 서로 일치하는 과목이 수학 과목일 때 $3$개의 수학 과목 중에서 $1$개를 선택하는 경우의 수는 ${} _{3} {\mathrm{C}} _{1}$$= 3$ 위의 각 경우에 대하여 나머지 $6$개의 과목 중에서 $\mathrm{A}$가 $2$개를 선택하고, 나머지 $4$개의 과목 중에서 $\mathrm{B}$가 $2$개를 선택하는 경우의 수는 $\square {{}^{} ( \text{가} ) ^{}}$ 이때의 경우의 수는 $3 \times {\square {{}^{} ( \text{가} ) ^{}}}$ (ⅱ) 서로 일치하는 과목이 과학 과목일 때 $4$개의 과학 과목 중에서 $1$개를 선택하는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} \mathit{_{1}}$$= 4$ 위의 각 경우에 대하여 나머지 $6$개의 과목 중에서 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 수학 과목을 $1$개 이상 선택해야 하므로 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다. (ⅱ-1) $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 모두 수학 과목 $1$개와 과학 과목 $1$개를 선택하는 경우의 수는 $\left( {}_{3} \mathrm{C} _{1} \times _{3} \mathrm{C} _{1} \right) \times \left( {}_{2} \mathrm{C} _{1} \times _{2} \mathrm{C} _{1} \right)$$= 36$ (ⅱ-2) $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 중 한 명은 수학 과목 $2$개를 선택하고, 다른 한 명은 수학 과목 $1$개와 과학 과목 $1$개를 선택하는 경우의 수는 ${\square {{}^{} ( \text{나} ) ^{}}}$ 이때의 경우의 수는 $4 \times \left( 36 + {\square {{}^{} ( \text{나} ) ^{}}} \right)$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $3 \times {\square {{}^{} ( \text{가} ) ^{}}} + 4 \times \left( 36 + {\square {{}^{} ( \text{나} ) ^{}}} \right)$이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$라 할 때, $p + q$의 값은? [4점] ①$102$②$108$③$114$④$120$⑤$126$