구와 원 위 점 내적

[출제의도] 공간도형의 성질을 이용하여 벡터의 내적의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제를 해결한다. 원 $C$의 중심을 $\mathrm{O}'$이라 하면 $\mathrm{\vec{OA}} \bullet {\vec{OB}}$$= \mathrm{\vec{OA}} \bullet \left( {\vec{OO'}} + {\vec{O' B}} \right)$ $= \mathrm{\vec{OA}} \bullet \vec{OO'} + \vec{OA} \bullet \vec{O' B}$ 평면 $x - y + z - 6 = 0$을 $\alpha$라 하면 구의 중심과 점 $\mathrm{O}'$을 지나는 직선 위의 점의 좌표가 $( t , - t , t + 3 )$이고 점 $\mathrm{O}'$이 평면 $\alpha$ 위의 점이므로 $\mathrm{O}' ( 1 , - 1 , 4 )$이다. 따라서 $\mathrm{\vec{OA}} \bullet {\vec{OO'}} = 12$ 구 $S$의 중심에서 평면 $\alpha$까지의 거리 $\displaystyle \sqrt{3}$, 구의 반지름의 길이 $2$ 원 $C$의 반지름의 길이는 $1$ 평면 $\alpha$와 직선 $\mathrm{OA}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{( 1 , - 1 , 1 ) \bullet ( \sqrt{2} , \sqrt{2} , 3 )}{\sqrt{1 + 1 + 1} \sqrt{2 + 2 + 9}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \sqrt{13}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{O' B}} = 1$이고, $\mathrm{\vec{OA}}$와 $\mathrm{\vec{O' B}}$가 이루는 각의 크기를 $\beta$라 하면 $\theta \leq \beta \leq \pi - \theta$이므로 $\cos ( \pi - \theta ) \leq \cos \beta \leq \cos \theta$ $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{13}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \sqrt{13}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{O' B}} = 1$이고 $\mathrm{\vec{OA}} \bullet {\vec{O' B}} = | {\vec{OA}} | | {\vec{O' B}} | \cos \beta$이므로 $\displaystyle \mathrm{-} \sqrt{10} \leq {\vec{OA}} \bullet {\vec{O' B}} \leq \sqrt{10}$ $\mathrm{\vec{OA}} \bullet {\vec{OB}}$의 최댓값은 $\displaystyle 12 + \sqrt{10}$, 최솟값은 $\displaystyle 12 - \sqrt{10}$이므로 곱은 $134$