구와 원 최대거리

구 $( x - 6 ) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} + ( z - 5 ) ^{2} = 16$는 중심이 $( 6 , - 1 , 5 )$이고 반지름이 $4$이다. 원 $( y - 2 ) ^{2} + ( z - 1 ) ^{2} = 9$는 중심이 $( 0 , 2 , 1 )$이고 반지름이 $3$이다. 구의 중심을 $\mathrm{C} _{1}$$( 6 , - 1 , 5 )$, 원의 중심을 $\mathrm{C} _{2}$$( 0 , 2 , 1 )$라 하고 $\mathrm{C} _{1}$에서 $yz$평면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$$( 0 , - 1 , 5 )$라 하자.

원위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$를 고정시킬 때, 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$가 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$는 직선 $\mathrm{C} _{1}$$\mathrm{Q}$ 위에 놓인다. 이때, $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$의 최댓값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{PC _{1}}} + \overline{C _{1} Q} = 4 + \overline{C _{1} Q}$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} Q}}$가 최대일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$가 최대가 된다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{C} _{1} Q}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{C _{1} H}} ^{2} + {\overline{HQ}} ^{2}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{6 ^{2} + {\overline{HQ}} ^{2}}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{HQ}}$가 최대일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{C} _{1} Q}$가 최대가 된다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{HQ}}$가 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm{Q}$는 직선 $\mathrm{H}$$\mathrm{C} _{2}$ 위에 놓인다. 이때, 최댓값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{HC _{2}}} + \overline{C _{2} Q}$$\displaystyle = \sqrt{0 ^{2} + 3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}} + 3$$= 8$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{C} _{1} Q}$의 최댓값은 $\displaystyle \mathrm{\sqrt{6 ^{2} + {\overline{HQ}} ^{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{6 ^{2} + 8 ^{2}}$$= 10$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$의 최댓값은 $\displaystyle \mathrm{4} + \overline{C _{1} Q}$$= 14$이다.