구와 선분 교점 자취

원$\mathrm{C}$ 위의 점 $\mathrm{P}$를 $( x _{1,} y _{1,} 0 )$이라 하면 $x _{1} ^{2} + y _{1} ^{2} = 1$ 직선 $\mathrm{AP}$의 방정식을 구해보면 $\displaystyle \frac{x}{x _{1}} = \frac{y}{y _{1}} = \frac{z - 3}{- 3}$이고, 직선 위의 점은 $\mathrm{Q} ( x _{1} t , y _{1} t , - 3 t + 3 )$으로 나타낼 수 있다. 이 직선과 구의 교점을 구하면 $( x _{1} t ) ^{2} + ( y _{1} t ) ^{2} + ( - 3 t + 1 ) ^{2}$ $= ( x _{1} ^{2} + y _{1} ^{2} + 9 ) t ^{2} - 6 t + 1$$= 1$ 정리하면 $10 t ^{2} - 6 t = 0$ $\therefore t = 0$ 또는 $\displaystyle t = \frac{3}{5}$ $t = 0$이면 조건에 맞지 않고 $\displaystyle t = \frac{3}{5}$이면 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{3}{5} x _{1} , \frac{3}{5} y _{1} , \frac{6}{5} \right)$ $\therefore \mathrm{Q}$의 자취는 $\displaystyle x ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{3}{5} \right) ^{2} , z = \frac{6}{5}$ $\therefore$자취의 길이는 $\displaystyle 2 \pi \times \frac{3}{5} = \frac{6}{5} \pi$ $a + b = 11$ [다른 풀이] 점 $\mathrm{A}$와 원 $\mathrm{C}$ 위의 점 $\mathrm{P}$를 이은 선분의 자취는 그림 ①과 같이 원뿔이 된다. 따라서 구하는 점은 원뿔과 구의 교점의 집합이다.

$z$축을 포함하는 평면으로 그림 ②와 같이 잘라보면 $\mathrm{Q}$는 $\mathrm{H}$로부터 거리가 일정하고 $\displaystyle \mathrm{\overline{Q Q'}} \perp \overline{AH}$이므로 자취는 원이 된다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \sqrt{10}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = 2 \times \mathit{\cos} \mathrm{(} \angle QAB )$$= 2 \times \mathit{\cos} \mathrm{(} \angle PAD )$$\displaystyle = \frac{6}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle \mathrm{\therefore} \overline{QH} = \overline{AQ} \cdot \mathrm{\sin} ( \angle PAD )$$\displaystyle = \frac{\frac{6}{{\sqrt{10}} ^{\cdot {1}}}}{{\sqrt{10}} ^{=}} \frac{3}{5}$ 따라서, 반지름 $\displaystyle \frac{3}{5}$인 원이므로 자취의 길이는 $\displaystyle \frac{6}{5} \pi$이다. $\therefore a + b = 11$