구와 선분 교점

삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 무게중심 ${\mathrm{G}}$의 좌표는 $\displaystyle {\mathrm{G}} \left( \frac{6 + 0 + 0}{3} , \frac{0 + 3 + 0}{3} , \frac{0 + 0 + 3}{3} \right)$, 즉 ${\mathrm{G}} \left( 2 , 1 , 1 \right)$ 구 $S$는 중심이 ${\mathrm{G}} \left( 2 , 1 , 1 \right)$이고 $z$축에 접하므로 구의 반지름의 길이 $r$은 점 ${\mathrm{G}}$에서 $z$축까지의 거리와 같다. 점 ${\mathrm{G}}$에서 $z$축에 내린 수선의 발은 $\left( 0 , 0 , 1 \right)$이므로 $\displaystyle r = \sqrt{\left( 2 - 0 \right) ^{2} + \left( 1 - 0 \right) ^{2} + \left( 1 - 1 \right) ^{2}} = \sqrt{5}$ 따라서 구 $S$의 방정식은 $\left( x - 2 \right) ^{2} + \left( y - 1 \right) ^{2} + \left( z - 1 \right) ^{2} = 5$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 두 점 ${\mathrm{A}} \left( 6 , 0 , 0 \right)$, ${\mathrm{C}} \left( 0 , 0 , 3 \right)$에 대하여 직선 ${\mathrm{AC}}$는 $zx$평면 위에 있으므로 구 $S$와의 교점은 $zx$평면 위에 존재한다. ㉠에 $y = 0$을 대입하면 $\left( x - 2 \right) ^{2} + \left( z - 1 \right) ^{2} = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $zx$평면 위에 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$와 원 ㉡을 나타내면 다음과 같다.

구 $S$와 선분 $\mathrm{AC}$가 만나는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 위의 그림에서 원 ㉡과 선분 $\mathrm{AC}$가 만나는 두 점과 같다. 직선 $\mathrm{AC}$의 방정식은 $\displaystyle z = - \frac{1}{2} x + 3$, 즉 $x + 2 z - 6 = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 원 ㉡의 중심 $\mathrm{S} \left( 2 , 1 \right)$에서 직선 ㉢에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{SH}} = \frac{\left| 2 + 2 - 6 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 삼각형 $\mathrm{PSH}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PS}} = 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \sqrt{2 ^{2} - \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) ^{2}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ $\therefore$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$$\displaystyle = 2 \mathrm{\overline{PH}} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$