기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구와 내적

문제

중심이 C\mathrm{C}이고 반지름의 길이가 33인 구와 구 위의 한 점 A\mathrm{A}가 있다. 구 밖의 한 점 B\mathrm{B}를 AB‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 6이고 CB‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{CB}} = 5가 되도록 잡는다. 점 P\mathrm{P}가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터 BA⃗,BP⃗\vec{\mathrm{BA}} , \vec{\mathrm{BP}}의 내적 BA⃗⋅BP⃗\vec{\mathrm{BA}} \cdot \vec{\mathrm{BP}}의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 평면과 구의 위치관계를 이용하여 벡터의 내적과 관련된 문제를 해결한다. BA⃗⋅BP⃗=BA⃗⋅(BC⃗+CP⃗)\mathrm{\vec{BA}} \cdot \vec{BP} = \mathrm{\vec{BA}} \cdot ( \vec{BC} + \vec{CP} )=BA⃗⋅BC⃗+BA⃗⋅CP⃗= \mathrm{\vec{BA}} \cdot \vec{BC} + \vec{BA} \cdot \vec{CP} =6⋅5⋅36+25−92⋅6⋅5+BA⃗⋅CP⃗=26+BA⃗⋅CP⃗\displaystyle \mathrm{=} 6 \cdot 5 \cdot \frac{36 + 25 - 9}{2 \cdot 6 \cdot 5} + \vec{BA} \cdot \vec{CP} = 26 + \vec{BA} \cdot \vec{CP} 그런데 최대일 때의 점 P\mathrm{P}를 PM\mathrm{P} _{M}, 최소일 때의 점 P\mathrm{P}를 Pm\mathrm{P} _{m}이라 하면 CPM⃗\vec{\mathrm{CP} _{M}}, CPm⃗\vec{\mathrm{CP} _{m}}은 BA⃗\vec{\mathrm{BA}}와 평행하고 방향이 반대이므로 BA⃗⋅CPM⃗+BA⃗⋅CPm⃗=0\mathrm{\vec{BA}} \cdot \vec{CP _{M}} + \mathrm{\vec{BA}} \cdot \vec{CP _{m}} = 0 BA⃗⋅BP⃗\mathrm{\vec{BA}} \cdot \vec{BP}의 최댓값과 최솟값의 합은 26+26=5226 + 26 = 52

태그

#벡터의 내적#구

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