기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구와 정육면체 최소

문제

그림과 같이 좌표공간에서 중심이 OO이고, 반지름의 길이가 5인 구 SS가 평면 α\alpha에 접한다. 구 SS의 외부에 있는 정육면체 ABCD−EFGHABCD - EFGH의 밑면 EFGHEFGH가 평면 α\alpha 위에 놓여 있고, 모서리 ABAB와 구 SS가 모서리 ABAB의 중점 MM에서 접한다. 선분 OMOM의 평면 α\alpha 위로의 정사영의 길이가 4이고, 모서리 CDCD의 중점과 모서리 GHGH의 중점을 지나는 직선을 ll이라 하자. 직선 ll 위를 움직이는 점 PP에 대하여 OP‾+PH‾\displaystyle {\overline{OP}} + {\overline{PH}}의 최솟값은? [4점]

①74\displaystyle \sqrt{74}②53\displaystyle 5 \sqrt{3}③219\displaystyle 2 \sqrt{19}④77\displaystyle \sqrt{77}⑤78\displaystyle \sqrt{78}

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①

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해설

[출제의도] 구와 평면에 대해 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 점 O\mathrm{O}와 점 M\mathrm{M}의 평면 α\alpha에 내린 수선의 발을 각각 O′\mathrm{O}',, M′\mathrm{M}'라 하고,, 점M\mathrm{M}의 선분OO′\mathrm{OO}'에 내린 수선의 발을 O′′\mathrm{O}''라 하면 그림에서 O′M′‾=O′′M‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{O' M'}} = \mathrm{\overline{O'' M}} = 4,, OM‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} = 5이고 △OO′M\mathrm{\triangle} OO' M이 직각삼각형이므로 OO′′‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{OO''}} = 3,, O′′O′‾=OO′‾−OO′′‾=5−3=2\displaystyle \mathrm{\overline{O'' O'}} = \overline{OO'} - \overline{OO''} = 5 - 3 = 2 즉,, 정육면체의 높이가 22이므로 한 모서리의 길이가 22이다. 구와 평면의 교점을 원점이라 하고, O(0,0,5)\mathrm{O} ( 0 , 0 , 5 ),, M(0,4,2)\mathrm{M} ( 0 , 4 , 2 ),, N(0,6,2)\mathrm{N} ( 0 , 6 , 2 ),, L(0,6,0)\mathrm{L} ( 0 , 6 , 0 ),, H(−1,6,0)\mathrm{H} ( - 1 , 6 , 0 )라 하자. LH‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{LH}} = 1이므로 H′(0,7,0)\mathrm{H}' ( 0 , 7 , 0 )에 대하여 LH‾=LH′‾\displaystyle \mathrm{\overline{LH}} = {\overline{LH'}},, PH‾=PH′‾\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \overline{PH'}이 성립한다. 점O\mathrm{O},, P\mathrm{P},, H′\mathrm{H}'이 일직선에 놓이게 된다. OP‾+PH‾=OP‾+PH′‾≥OH′‾=52+72=74\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} + {\overline{PH}} = \mathrm{\overline{OP}} + {\overline{PH'}} \geq {\overline{OH'}} = \sqrt{5 ^{2} + 7 ^{2}} = \sqrt{74} 따라서 OP‾+PH‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} + \overline{PH}의 최솟값은 74\displaystyle \sqrt{74}

태그

#구#정사영#최솟값

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