구와 정사면체 정사영

[출제의도] 정사영을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 평면 $\alpha$와 구 $S$가 만나서 생기는 도형 $C$는 원이고, 구의 중심 $O$에서 평면 $\alpha$ 위에 내린 수선의 발을 $H$, 두 평면 $\alpha$와 $BCD$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하자. ${\vec{PM}} \bullet {\vec{PN}} = \left( {\vec{PO}} + {\vec{OM}} \right) \bullet \left( {\vec{PO}} + {\vec{ON}} \right)$ $= \left| {\vec{PO}} \right| ^{2} + {\vec{PO}} \bullet \left( {\vec{OM}} + {\vec{ON}} \right) + {\vec{OM}} \bullet {\vec{ON}}$ $\left| {\vec{PO}} \right| ^{2} = 4$이고, ${\vec{OM}} \bullet {\vec{ON}}$의 값은 상수이므로 ${\vec{PM}} \bullet {\vec{PN}}$의 최댓값은 ${\vec{PO}} \bullet \left( {\vec{OM}} + {\vec{ON}} \right)$의 값이 최대가 될 때이다. ${\vec{OM}} + {\vec{ON}}$과 ${\vec{OA}}$가 평행하므로 ${\vec{OM}} + {\vec{ON}} = k {\vec{OA}}$($k$는 양의 상수) ${\vec{PO}} \bullet \left( {\vec{OM}} + {\vec{ON}} \right)$$= k {\vec{PO}} \bullet {\vec{OA}}$이므로 점 $P$는 직선 $OA$와 구 $S$의 교점 중 $G$가 아닌 점일 때 ${\vec{PM}} \bullet {\vec{PN}}$은 최댓값을 갖는다.

도형 $C$의 평면 $BCD$ 위로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle \pi \times \left( {\overline{HQ}} \right) ^{2} \times \cos \theta$ 한편, $\theta = \angle HOQ = \angle MDN$이고 삼각형 $NMD$에서 $\displaystyle {\overline{MD}} = \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{ND}} = 1$이므로 $\displaystyle \cos ( \angle MDN ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 또한, $\displaystyle {\overline{OQ}} = 2$이므로 $\displaystyle {\overline{HQ}} = {\overline{OQ}} \times \sin \theta = 2 \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ 그러므로 도형 $C$의 평면 $BCD$위로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle \pi \times \left( \frac{2 \sqrt{6}}{3} \right) ^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8 \sqrt{3}}{9} \pi$ 따라서 $p = 9$, $q = 8$ 이므로 $p + q = 17$