구와 두 평면의 원 거리

원$C _{1}$과 중심에서 원$C _{1}$에 그은 벡터$\vec{OP}$와 평면 $\alpha$의 법선 벡터가 이루는 각$\displaystyle \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{6}$ 원$C _{2}$과 중심에서 원$C _{2}$에 그은 벡터$\vec{OQ}$와 평면 $\beta$의 법선 벡터가 이루는 각$\displaystyle \cos \beta = \frac{1}{2}$ , $\displaystyle \beta = \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle \therefore \alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ 평면 $\alpha$의 법선 벡터와 평면 $\beta$의 법선 벡터가 이루는 각 $\theta$는 $\displaystyle \cos \theta = - \frac{4}{5}$ (둔각) 따라서 최단거리를 나타내는 벡터$\vec{OP}$와 벡터$\vec{OQ}$가 이루는 각은 $\displaystyle \cos ( \theta - \frac{\pi}{2} ) = \frac{3}{5}$이다. $\displaystyle \overline{PQ ^{2}} = \left| \vec{PQ ^{}} \right| ^{2} = \left| \vec{OQ} - \vec{OP} \right| ^{2} = ( \vec{OQ} - \vec{OP} ) \cdot ( \vec{OQ} - \vec{OP} )$를 정리하면 최소값은 40이다.