기하공간도형과 공간좌표수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

구의 접선과 정사영

문제

좌표공간에서 점 $\mathrm{A} \left( 0 , 0 , 1 \right)$ 을 지나는 직선이 중심이 $\mathrm{C} \left( 3 , 4 , 5 \right)$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 구와 한 점 $\mathrm{P}$ 에서만 만난다. 세 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{C}$ , $\mathrm{P}$ 를 지나는 원의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{q}{p} \sqrt{41} \pi$ 이다. $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

삼각형 $\mathrm{APC}$ 는 빗변이 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$ 인 직각삼각형이므로 원의 지름은 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \sqrt{41}$ 이다. 이것의 $xy$ 평면으로의 정사영의 길이는 $\mathrm{A}' ( 0 , 0 , 0 )$ , $\mathrm{C}' ( 3 , 4 , 0 )$ 에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A' C'}} = 5$ , 따라서 최대 넓이는 장축의 길이가 $\displaystyle \sqrt{41}$ , 단축의 길이가 $5$ 인 타원이므로 $\displaystyle S = \frac{5}{2} \times \frac{\sqrt{41}}{2} \pi = \frac{5}{4} \sqrt{41 \pi}$ , $\therefore$ $p + q = 9$

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